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文档简介
2022年北京魏善庄中学高二数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.极坐标方程化为直角坐标方程是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:A2.已知函数的导函数的图象如图所示,给出下列四个结论:
①函数在区间内单调递减;
②函数在区间内单调递减;
③当时,函数有极大值;
④当时,函数有极小值.
则其中正确的是
(
)A.②④
B.①④
C.①③
D.②③
参考答案:A略3.(5分)函数f(x)=+mx在[1,2]上是增函数,则m的取值范围为()A.[,1] B. [1,4] C.[1,+∞) D. (﹣∞,﹣1]参考答案:B4.设随机变量服从分布B(n,p),且E=1.6,D=1.28则(
)A
n=8,p=0.2
Bn=4,p=0.4
C
n=5,p=0.32
D
n=7,p=0.45参考答案:D略5.设点是曲线上的任意一点,点处切线倾斜角为,则角的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
参考答案:A6.在命题“若抛物线的开口向下,则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是A.都真
B.都假
C.否命题真
D.逆否命题真参考答案:D7.抛物线的准线方程为参考答案:B略8.若是互不相同的空间直线,是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则参考答案:C析:对于A,考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理;对于B,考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理;对于C,考虑面面垂直的判定定理;对于D,考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.解答:解:选项A中,l除平行n外,还有异面的位置关系,则A不正确.选项B中,l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种,则B不正确.选项C中,由l∥β,设经过l的平面与β相交,交线为c,则l∥c,又l⊥α,故c⊥α,又c?β,所以α⊥β,正确.选项D中,l与m的位置关系还有相交和异面,故C不正确.故选C.9.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3、4、5,则它的外接球的表面积是(
)A、
B、
C、
D、参考答案:C10.随机变量的概率分布列规律为其中为常数,则的值为
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设,,若是的充分不必要条件,则的取值范围是
.参考答案:略12.双曲线的右焦点到渐近线的距离是_________.
参考答案:13.已知x>0,y>0,且=1,则4x+y的最小值为.参考答案:21【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【专题】整体思想;分析法;不等式的解法及应用.【分析】运用乘1法,可得由4x+y=4(x+1)+y﹣4=[4(x+1)+y]?()﹣4,化简整理再由基本不等式即可得到最小值.【解答】解:由4x+y=4(x+1)+y﹣4=[4(x+1)+y]?1﹣4=[4(x+1)+y]?()﹣4=13++﹣4≥9+2=21.当且仅当x=,y=15取得最小值21.故答案为:21.【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,注意乘1法和满足的条件:一正二定三等,考查运算能力,属于中档题.14.A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为
____________.参考答案:略15.现有下列命题:①命题“”的否定是“”;②若,,则=;③函数是偶函数的充要条件是;④若非零向量满足==(),则=1.其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)参考答案:②③略16.在区间[﹣1,1]上随机取一个数x,则cos的值介于0到之间的概率为
.参考答案:【考点】C7:等可能事件的概率.【分析】本题考查的知识点是几何概型,由于函数cos是一个偶函数,故可研究出cosπx的值介于0到0.5之间对应线段的长度,再将其代入几何概型计算公式进行求解.【解答】解:由于函数cos是一个偶函数,可将问题转化为在区间[0,1]上随机取一个数x,则cos的值介于0到之间的概率在区间[0,1]上随机取一个数x,即x∈[0,1]时,要使cosπx的值介于0到0.5之间,需使≤πx≤∴≤x≤1,区间长度为,由几何概型知cosπx的值介于0到0.5之间的概率为.故答案为:.17.矩阵A=的逆矩阵为
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.x(万元)24536y(单位:t)2.544.536(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程;(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(1)中的结果回答下列问题:①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预报值是多少?②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附:回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为参考数据:.参考答案:(1);(2)①销售量为9.1,年利润2.25;②该公司应该投入5万元宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【分析】(1)由题所给数据及参考公式,计算出回归方程;(2)将(1)所得回归方程代入函数式得到年利润与年宣传费之间的函数关系,利用函数知识分析。(3)年利润与年宣传费的比值为,求出的解析式,利用基本不等式求最值。【详解】(1)由题意,,(2)①由(1)得当时即当年宣传费为10万元时,年销售量为,年利润的预报值为。②令年利润与年宣传费的比值为则当且仅当即时取最大值,故该公司应该投入5万元宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本题考查了求线性回归方程,利用基本不等式求最值,属于基础题.
19.已知条件,条件关于x的不等式组的整数解的集合为,试判断p是q的充分不必要条件是否成立,说明理由。参考答案:解:充分不必要条件计算得条件,条件q:故p是q得充分不必要条件略20.平面直角坐标系中有点A(0,1)、B(2,1)、C(3,4)、D(-1,2),这四点能否在同一个圆上?为什么?参考答案:解:设过的圆的方程为
将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程并解所得的方程组得圆的方程为
将点D的坐标代入上述所得圆的方程,方程不成立点D不在该圆上
四个点不在同一个圆上
略21.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=9,D,E分别为AC、AB上的点,且DE∥BC,DE=4,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的正弦值.参考答案:【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)推导出DE⊥AC,DE⊥A1D,DE⊥CD,从而DE⊥A1C.再由A1C⊥CD,能证明A1C⊥平面BCDE.(2)以C为原点,CB为x轴,CD为y轴,CA1为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出CM与平面A1BE所成角的正弦值.【解答】证明:(1)∵AC⊥BC,DE∥BC,∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D,DE⊥CD,∴DE⊥平面A1DC.∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD,∴A1C⊥平面BCDE.解:(2)以C为原点,CB为x轴,CD为y轴,CA1为z轴,建立空间直角坐标系,C(0,0,0),A1(0,0,3),D(0,3,0),M(0,,),B(6,0,0),E(4,3,0),=(0,),=(﹣6,0,3),=(﹣2,3,0),设平面A1BE的法向量=(x,y,z),则,取x=1,=(1,,),设CM与平面A1BE所成角为θ,sinθ===.∴CM与平面A1BE所成角的正弦值为.【点评】本题考查线面垂直,考查线面角,考查面面垂直,既有传统方法,又有向量知识的运用,要加以体会.22.某益智闯关节目对前期不同年龄段参赛选手的闯关情况进行统计,得到如下2×2列联表,已知从30~40岁年龄段中随机选取一人,其恰好闯关成功的概率为.(1)完成2×2列联表;(2)有多大把握认为闯关成功与年龄是否有关?附:临界值表供参考及卡方公式P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案:(1)详见
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