广东省汕头市金堡中学高三数学文期末试题含解析

广东省汕头市金堡中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：C解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率2.函数的大致图象为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键3.函数的定义域为,若存在非零实数，使得对于任意有且，则称为上的度低调函数.已知定义域为的函数，且为上的度低调函数，那么实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D因为函数为上的6度低调函数，所以当时，，即，即，平方整理得，即，所以，即，若，不等式恒成立；若，则，因为定义域为，所以有，即，解得或（此时），综上两种情况可知，实数的取值范围是或，选D.4.设,

其中

为常数，则

A.492

B.482

C.452

D.472参考答案：A5.已知在R上是减函数，若,,.则（

）A．

B． C． D．参考答案：C：函数在R上是减函数，

，即，选C．6.如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线，AC与BO交于点E，某指数函数，经过点E，B，则a=A. B. C.2 D.3参考答案：A试题分析：设点A（0，m）,则由已知可得，C()E()B()．又因点E、B在指数函数图像上，所以,两式相除得，∴．故选A．考点：已知图像上点求函数解析式．【方法点睛】本题是通过四边形的面积求出相应点的坐标，然后代入指数函数的解析式中，求出a的值即可．思路简单，难点在于解关于m,a的方程组，注意消元技巧．7.定义，已知。则

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知是平面的一条斜线，点A，为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是（

）

A.∥,⊥

B.⊥,⊥

C.⊥,∥

D.∥,∥参考答案：C9.圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（

）、

、

、、参考答案：A略10.下列各组函数中表示同一函数的是（

）A．与

B．与C．与

D．与参考答案：【知识点】判断两个函数是否为同一函数．B1

【答案解析】D解析：对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B选项，由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，∴不是同一函数；对于C选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x）==x+1，∴是同一函数，故选D．【思路点拨】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.这次行车总费用关于的表达式

；当=

时，这次行车的总费用最低。参考答案：解析:（1）设行车所用时间为

,所以，这次行车总费用y关于x的表达式是

（或：）（2）

仅当时，上述不等式中等号成立12.平面直角坐标系xOy内有点，，，，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为________参考答案：.【分析】利用图形判断出四边形是矩形，且边位于直线上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.【详解】如下图所示，四边形是矩形，且边位于直线上，且，，将四边形绕着直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为1，高为2，因此，该几何体的体积为，故答案为：.【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.13.等差数列{an}中，，，（），则数列{an}的公差为________参考答案：.【分析】设等差数列的公差为，由，可计算出的值，由此可得出数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，又，，则，，即数列的公差为，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.14.（2016郑州一测）抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为，那么直线的斜率的概率是

．参考答案：∵，∴．符合的为∴所求的概率．15.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为

．参考答案：e2－2正方形的面积为；A（1，e），B（0,1）所以曲边形ACB的面积为

因为与互为反函数，图像关于对称所以曲边形DEF的面积等于曲边形ACB的面积，都为1。所以阴影部分的面积为e2－2

16.若为正整数，在上的最小值为，则

．参考答案：1或2

17.已知点、分别为的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若，则的值为

．参考答案：．另解：注意到题中的形状不确定，因此可取特殊情形，则点即为点，由此可迅速得到答案.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜﹣1的解集；（2）若不等式f（x）≤a|x﹣2|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，|x+1|﹣|2x﹣1|≤a|x﹣2|恒成立，即a≥||﹣||=|1+|﹣|2+|，利用绝对值三角不等式求得|1+|﹣|2+|的最大值，可得a的范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＜﹣1，即①，或②，或．解①求得x＜﹣1；解②求得﹣1≤x＜﹣，解③求得x＞3，故不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞3}．（2）若不等式f（x）≤a|x﹣2|对任意的x∈R恒成立，即|x+1|﹣|2x﹣1|≤a|x﹣2|恒成立，a≥||﹣||=|1+|﹣|2+|，而|1+|﹣|2+|≤|（1+）﹣（2+）|=1，∴a≥1．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，，，P为B1C1的中点，Q为BB1的三等分点（靠近B1）点.（1）求三棱锥P-AQC的体积；（2）在线段A1C1上找点M，使得平面APQ，写出作图步骤，但不要求证明.参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）把三棱锥P﹣AQC转化为A﹣PQC，容易求解；（2）首先过B1作平面与平面APQ平行，该平面与A1C1的交点M即为所找的点．【详解】(1)由题知依题意得(2)如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.

【点睛】此题考查了转化法求体积，面面平行，熟记定理准确推理是关键，难度适中．20.已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣21.（12分）已知、、分别为的三边、、所对的角，向量，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，成等差数列，且，求边的长.参考答案：解析:（Ⅰ）

…………2分在中，由于，

…………3分又，

又，所以，而，因此.…………6分

（Ⅱ）由，由正弦定理得

…………8分，即，由（Ⅰ）知，所以

…………10分由余弦弦定理得，

…………11分，

…………12分22.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄