第二章 内积空间

第二章内积空间第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例1常见几个线性空间上内积的定义：欧氏空间（有限维实内积空间）：②上连续函数的全体构成的空间：注：向量的长度或正交向量：第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四④实数域上所有n次多项式构成的线性空间：③实数域上所有n阶方阵构成的线性空间：性质1（内积的性质）①②③第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理1（Cauchy-Schwarz不等式）设是内积空间，是中任意两个向量，则有：当且仅当线性相关时等号成立。第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：上Cauchy-Schwarz不等式的积分形式：第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例2设是中的一组向量，证明这组向量线性无关的充要条件是下列行列式（Gram）证明：设第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四§2、正交基与子空间的正交关系定义1（正交组）内积空间中两两正交的一组非零向量，称之为正交组。注：任何一个正交组都是线性无关的。定义2（正交基）在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基为标准（或规范）正交基，通常记为第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理1（正交基的构造）任一n维欧氏空间都存在正交基。证明（略）。

证明过程给出了正交基的一种构造方法：著名的Schmidt正交化方法（线性代数学过）。定义3（正交矩阵）设，如果，则称为正交矩阵。性质1不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵。设n维欧氏空间的两组标准正交基为第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四即注：正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。正交矩阵性质（略）第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义4（正交子空间）设是内积空间的两个子空间，如果对，均有，则称与是正交的子空间，并记为。性质2设内积空间的两个子空间与是正交的，则是直和。两种方法说明：交集为零空间；

零元素表示唯一。定义5（正交补空间）设是内积空间的两个子空间，且满足，则称是的正交补空间，简称正交补，记为。第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四性质3

n维欧氏空间的任一子空间都有唯一的正交补。证明:①如果，则是唯一的正交补。②如果，在中选取一组正交基，并将其扩充为的一组正交基则就是的正交补。③唯一性：证明:①如果，则是唯一的正交补。同理第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例3已知中：，其中求。第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四利用Schmidt正交化方法将其化为正交基：将扩充为的一组基：第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四解：例4设，称的子空间为矩阵的值域，求。注：一般来说，称为矩阵的零空间。第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四§3、内积空间的同构定义1（内积空间的同构）设是两个内积空间，如果和之间存在一个一一对应关系，使得对任意的满足⒈⒉

⒊则称和是同构的。注：首先作为线性空间是同构的，在此同构之下保持内积不变。第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理1所有n维欧氏空间都同构。①设是n维欧氏空间，是其一组标准正交基，则有定义容易验证该映射为同构映射，且保持内积不变，从而与同构。②设是另一n维欧氏空间，是其一组标准正交基，则有定义从而与同构。第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四§4、正交变换定义1（正交变换）设是内积空间的线性变换，如果对任意的，满足则称线性变换为的一个正交变换。定理1（正交变换的等价定义）设是n维欧氏空间的一个线性变换，则下列命题等价：⑴是正交变换。⑵保持向量长度不变，即对，均有。第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四⑶如果是的一组标准正交基，则也是的一组标准正交基。⑷在中任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵。证明思路：是正交变换取第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四是正交变换第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四由§2中性质1：不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵，因此为正交矩阵。第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例5几个正交变换的例子：的一个线性变换，对则是正交变换。②设是内积空间的一个线性变换，则是正交变换。即：保持距离不变的线性变换是正交变换。③设是内积空间的一个变换，证明：如果保持向量的内积不变，即对，则一定是线性变换，故是正交变换。第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四§5、点到子空间的距离与最小二乘法定义1（距离）设是欧氏空间，，称为与的距离，记为。性质1（距离的性质）①②③，当且仅当时等号成立。第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义2（点到子空间的距离）设是欧氏空间的一个子空间，，称为到的距离。问题:达到最小距离的具有什么性质？设如果第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义3最小二乘法问题提法1（矛盾方程组求解）设给定不相容（或矛盾）线性代数方程组其中寻求近似解，满足故称之为最小二乘解，相应方法称为最小二乘法。第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四提法2（数据拟合问题）设给定一组数据，寻求一个近似函数（经验函数）来拟合该组数据，使得提法1的求法记问题相当于：对于给定的向量，寻求使得之间的距离达到最小。第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四记法（正规）方程组第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四解：例6：求下列方程组的最小二乘解第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四一、复内积空间的定义§6、复内积空间（酉空间）定义1设,如果对，存在复数（记为）与之对应，且满足下列条件①②③

，当且仅当时等号成立。则称复数为向量的内积，定义了内积的复线性空间称为复内积空间，或称为酉空间。第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例7常见几个线性空间上复内积的定义：n维酉空间（有限维复内积空间）：③实数域上所有n次多项式构成的线性空间：②实数域上所有n阶方阵构成的线性空间：第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四性质1（复内积的性质）①②③定理1（Cauchy-Schwarz不等式）设是内积空间，是中任意两个向量，则有：当且仅当线性相关时等号成立。第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：关于复向量的长度、正交向量、正交基、标准正交基的概念完全类似实内积空间中的定义，这儿不再一一概述。第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义2（酉变换）设是酉空间的线性变换，如果对任意的，满足则称线性变换为的酉变换。二、酉变换定义3（酉矩阵）设，如果，则称为酉矩阵。第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理2（酉变换的等价定义）设是n维酉空间的一个线性变换，则下列命题等价：⑴是酉变换。⑵保持向量长度不变，即对，均有。⑶如果是的一组标准正交基，则也是的一组标准正交基。⑷在中任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵。定理3所有n维酉空间都是同构的。第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四§7、正规矩阵定义1（正规矩阵）设，如果，则称为正规矩阵。常见的正规矩阵：①实对称矩阵：②实反对称矩阵：③厄米特矩阵：④反厄米特矩阵：⑤正交矩阵：⑥酉矩阵：不属于前述类型的正规矩阵：第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四引理（酉矩阵的构造）设是酉空间的一个单位向量，则存在一个以为第一个列向量的酉矩阵。证明：取，且满足上述关于变量的方程组的解空间为n-1维，不妨假设其线性无关组为，将其正交单位化后得到，则构成的一组标准正交基，从而第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四证明：充分性直接利用定义验证易得。定理1（正规矩阵的判定条件）设为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵，使得酉相似于对角矩阵，即第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四必要性：数学归纳法证明（对阶数n归纳）当n=1时，结论显然成立。假设结论对n-1阶矩阵成立，下证对n阶矩阵也成立。设是的一个特征值，是相应单位特征向量，由引理知，存在以为列向量的酉矩阵第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四其中是n-1阶矩阵下面易证矩阵和均为正规矩阵。因为是n-1阶正规矩阵，由归纳假设结论成立。第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四由归纳假设，存在n-1阶酉矩阵，满足记，仍为酉矩阵，第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四是矩阵的n个特征值。推论1设是n阶正规矩阵，特征值为是厄米特矩阵的特征值全为实数。②是反厄米特矩阵的特征值为0或纯虚数。③是酉矩阵的每个特征值的模均为1。推论2厄米特（Hermite）矩阵任意两个不同特征值对应的特征向量是正交的。第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四§8、厄米特（Hermite）二次型定义1（厄米特二次型）设，为厄米特矩阵，则二次型称之为厄米特二次型，的秩为二次型的秩。例如：第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四注意：①厄米特二次型与实二次型的区别。二次型矩阵②厄米特二次型中不含交叉项时，称为二次型的标准型，即此时二次型矩阵为对角形矩阵。第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理1厄米特二次型经满秩线性变换后仍为厄米特二次型，且秩不变。定义2（厄米特相合）设厄米特二次型经满秩线性变换化为，则称矩阵与是厄米特相合。或者说，存在可逆矩阵，使得，则称与厄米特相合。注意：实二次型时称为合同关系。第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理2每个厄米特二次型都可用某个酉变换，使其化为标准型：其中是的特征值。第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例8化下列厄米特二次型为标准型：解：该厄米特二次型的矩阵为①下面先计算矩阵的特征值。解：该厄米特二次型的矩阵为第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四②下面特征值相应的特征向量。解方程组解方程组第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四解方程组③将特征向量利用Schmite方法正交化处理（本题3个向量已经正交：不同特征值对应的特征向量一定正交），然后再进行单位化。第四十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四将上述三个向量按照列排起来的矩阵就是酉