第二章不等式第五课时

第二章不等式第五课时第一页，共五十一页，编辑于2023年，星期四考纲要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.第二页，共五十一页，编辑于2023年，星期四第三页，共五十一页，编辑于2023年，星期四知识梳理一、二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则1．若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．2．若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．(注：若B为负，则可先将其变为正)由此可知，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区第四页，共五十一页，编辑于2023年，星期四域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负情况，即可判断Ax＋By＋C>0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为特殊点．第五页，共五十一页，编辑于2023年，星期四二、线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．线性规划问题一般用图解法，其步骤如下1．根据题意，设出变量x、y；2．找出线性约束条件；3．确定线性目标函数z＝f(x，y)；第六页，共五十一页，编辑于2023年，星期四4．画出可行域(即各约束条件所表示区域的公共区域)；5．利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)＝t(t为参数)；6．观察图形，找到直线f(x，y)＝t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案．第七页，共五十一页，编辑于2023年，星期四基础自测1．(2010年全国卷Ⅰ)若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为()A．4B．3C．2D．1解析：画出可行域(如下图)，z＝x－2y⇒y＝x－z，由图可知，当直线经过点A(1，－1)时，z最大，且最大值为zmax＝1－2×(－1)＝3.答案：B第八页，共五十一页，编辑于2023年，星期四2A．(2011年广州一模)某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是 （） A．6 B．8 C．10 D．12C第九页，共五十一页，编辑于2023年，星期四2B．(2010年郴州模拟)若实数x、y满足则的取值范()A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：可看作可行域中的点与原点构成直线的斜率，画出可行域可得≥2.故选D.答案：D第十页，共五十一页，编辑于2023年，星期四3．(2010年茂名一模)已知实数x，y满足不等式组，目标函数z＝y－ax(a∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是_________．(1，＋∞)4．(2011年厦门一中月考)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，若函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象没有经过区域M，则a的取值范围是________________________．(0,1)∪(1,2)∪(9，＋∞)第十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期四第十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期四试画出不等式组，表示的平面区域．解析：分别画出不等式x－y≤1,2x＋y≤4，x≥1所表示的平面区域，它们的公共区域就是不等式组所表示的平面区域．(如右图所示)第十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期四变式探究1．用平面区域表示不等式组的解集．解析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．不等式y<－3x＋12表示直线y＝－3x＋12下方的区域；不等式x≤2y表示直线y＝x上方的区域．取两区域重叠的部分，上图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．第十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期四

(2010年柳州调研)在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是()A．4B．4C．2D．2思路分析：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积．第十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：由题意，作出已知的不等式组表示的平面区域，即△ABC所在区域(如右图所示)，其中，三个顶点分别为A(2,4)、B(2,0)、C(0,2)．于是，三角形ABC的面积为S△ABC＝＝4.答案：B第十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期四变式探究(2012年合肥模拟)不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C.D.解析：不等式组所表示的平面区域面积为右图所示阴影部分．由可得C(1,1)，故S阴＝×|AB|×xc＝.答案：C第十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期四设x，y满足约束条件，分别求：(1)z＝6x＋10y；(2)z＝2x－y；(3)z＝2x－y(x，y均为整数)的最大值，最小值．思路分析：由于所给的约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．第十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：(1)先作出可行域，如右图所示中△ABC的区域，且求得A(5,2)，B(1,1)，C，作出直线L0：6x＋10y＝0，再将直线L0平移，当L0的平行线过B点时，可使z＝6x＋10y达到最小值，当L0的平行线过A点时，可使z＝6x＋10y达到最大值．所以zmin＝16；zmax＝50.(2)同上，作出直线L0：2x－y＝0，再将直线L0平移，当L0的平行线过C点时，可使z＝2x－y达到最小值第十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期四当L0的平行线过A点时，可使z＝2x－y达到最大值所以zmin＝－；zmax＝8.(3)同上，作出直线L0：2x－y＝0，再将直线L0平移，当L0的平行线过C点时，可使z＝2x－y达到最小值－，当L0的平行线过A点时，可使z＝2x－y达到最大值8.但由于不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内的点C不是最优解，当L0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z＝2x－y达到最小值，所以zmin＝－2.第二十页，共五十一页，编辑于2023年，星期四点评：(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得(如：上题第一小题中z＝6x＋10y的最大值可以在线段AC上任一点取到)．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数．第二十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期四变式探究3.(2011年广州执信中学检测)设变量x，y满足约束条件：则z＝x－3y的最小值为()

A．－2B．－4C．－6D．－8第二十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：如下图作出可行域，知可行域的顶点是A(－2,2)、B及C(－2，－2)，于是目录函数z＝x－3y在A(－2,2)取得最小值，最小值为－8.答案：D第二十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期四某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？思路分析：这个问题的数学模型是二元线性规划．为此，需要确定线性约束条件和线性目标函数．第二十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：第二十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期四设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则约束条件是x+2y≤4002x+y≤500x≥0y≥0目标函数是z＝3x＋2y.要求出适当的x，y，使z＝3x＋2y取得最大值．如上图所示，先画出可行域．考虑3x＋2y＝z，z是参数，将它变形为y＝－3/2x＋z/2，它是斜率为－3/2，随z变化的一组直线.是直线在y轴上截距，当最大时，z最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值．第二十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期四容易求得两直线2x＋y＝500与x＋2y＝400的交点是(200,100)，即安排生产甲产品200件、乙产品100件，可使收入3x＋2y取得最大值．点评：线性规划的实际问题包括两种基本类型：第一种是已知一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，能使完成的任务量最大、收到的效益最大；第二种是给定一项任务，问如何统筹安排才能使完成该项任务的人力、物力资源量最小．第二十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期四4．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y必须满足则z＝10x＋10y的最大值是()5x-11y≥-222x+3y≥92x≤11约束条件A．80B．85C．90D．95第二十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：画出可行域(如图的阴影部分)，易得A(5.5,4.5)，注意到x，y均为正整数，故当且仅当时，z＝10x＋10y取得最大值zmax＝10×5＋10×4＝90.答案：C第二十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期四某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市．设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时．(1)作出表示满足上述条件的x、y范围；(2)如果已知所要经费p＝100＋3·(5－x)＋2·(8－y)(元)，那么v、w分别是多少时，走得最经济？此时需花费多少元？第三十页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：(1)第三十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期四由题得v＝50/y，w＝300/x，4≤v≤20,30≤w≤100.所以3≤x≤10，5/2≤y≤25/2.由于乘汽车、摩托车所需的时间和x＋y应满足：9≤x＋y≤14，因此满足上述条件的点(x，y)的范围是如上图中的阴影部分(包括边界)．(2)∵p＝100＋3·(5－x)＋2·(8－y)，∴3x＋2y＝131－p.第三十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期四要使p最小，则131－p最大．在图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为－3/2的直线3x＋2y＝k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当x＝10，y＝4时p最小．此时，v＝12.5.w＝30，p的最小值为93元．点评：要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型．第三十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期四变式探究5．(2011年乐陵一中模拟)某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？第三十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于第三十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期四作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如右图：作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．第三十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期四联立解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100,200)．∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．第三十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期四(2010年福建卷)设不等式组所表示的平面区域Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.28/5B．4C.12/5D．2教师用书备选题第三十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点A(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故|AB|的最小值为2×＝4，故选B.答案：B第三十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期四变式探究6．(2010年沈阳模拟)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是()A．[1,3]B．[2，]C．[2,9]D．[,9]第四十页，共五十一页，编辑于2023年，星期四解析：区域M是三条直线相交构成的三角形(如图)显然a>1，只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形，a1≤9且a3≥8，即2≤a≤9.故选C.第四十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期四1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，则把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．第四十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期四2．线性规划问题的求解策略与步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，借助直线(把线性目标函数看成斜率为常数的一组平行直线)与平面区域(可行域)的交点，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解．其一般步骤是：(1)设出所求未知数；(2)列出约束条件(即不等式组)；(3)建立目标函数；(4)作出可行域；(5)运用图解法求出最优解．第四十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期四其中分析题目的已知条件准确找出约束条件和目标函数是关键，可以把题目涉及的量分类列表，理清思路，然后列出不等式组(或方程组)确定约束条件和目标函数．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处取得最优解．在求线性目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值时，设ax＋by＝t，则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解．3．特别注意：解线