第二章模糊集合

第二章模糊集合第一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.1经典集合论概述2.1.1集合的概念经典集合的定义

定义2-1具有某种共同性质的事物的全体称为“集合”，而每一个别事物称为该集合的“元素”。论域：在讨论集合前常常需要首先给出我们研究的对象范围，这个范围就称为论域。论域本身是一种特殊的集合，它的选取一般不唯一，应根据具体情况研究的需要而定。经典集合论的基本要求：在论域中选出一个元素a，同时给定一个集合Ａ。则a或者“属于”A或者“不属于”A，两者必居其一，并且只居其一。当a属于A时记为，而当a不属于A时记为。

第二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四几种常用的集合分类①当一个集合中的元素数目有限时，称其为“有限集合”，否则为“无限集合”。②设S为无限集合，若S与自然数集合N之间存在1—1对应的关系，则称S为“可列集合”，否则称其为“不可列集合”。③不含任何元素的集合称为“空集”，记为φ；含有论域中所有元素的集合称为“全集”，记为U。特征函数

=第三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四常见的集合表示方法枚举法：对于元素不多的集合，可以将它的所有元素都一一列出，对于具有明显的顺序规律的集合仅列出部分元素，而将集合中的其它一些元素隐含表示。例如：“大于2小于6的整数集合”＝｛３，４，５｝。“自然数集合”＝｛１，２，３，…｝。描述法：对于有些集合是很难一一列出集合元素的，其元素间也不存在任何顺序规律性。例如“猫科动物”、“实数集合”。可以通过形式描述的手段表示集合，设集合S的元素具有属性P,则S=｛x｜P(x)｝其中竖线左边为集合元素符号，而右边是集合元素所具有的性质。例如：“实数集合R”＝｛x｜x为实数｝第四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四特征函数法：由于任一特征函数都能唯一地确定一个集合，所以也常常采用它来描述任何种类的集合。例如，以实数域R为论域，则有理数集合Q的特征函数为：文氏图：采用图①②③表示集合很直观形象，故被广泛应用于集合论中。但这种方法缺乏描述上的严格性，所以使用范围有一定的限制。①A=B②AB或AB③BA或BA第五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四集合论中最基本的概念：(1)对于任意两个集合A、B，若A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的“子集”，记为AB或BA；若B中存在不属于A的元素，则称A是B的“真子集”，记为AB或BA。(2)两集合“相等”，当且仅当AB且BA。(3)论域U包含任何集合A，即AU。(4)对于任意集合A，恒有φA。(5)对于一个集合A，由其所有子集作为元素构成的集合称为A的“幂集”，记为:ρ(A)={X|XA}(6)设X、Y为两个集合，则X和Y的笛卡儿积(又称“直积”)定义为:X×Y={(x，y)|x∈X，y∈Y}第六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.1.2集合的运算及其性质经典集合运算定义2-3令A、B为论域U中任意两个集合，则定义①A与B的“并集”：A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}②A与B的“交集”：A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}③A与B的“差集”：A－B={x|(x∈A)∧(xB)}④A的“补集”：～A=U－A={x|(xA)∧(x∈U)}定义2-4令A、B为论域中任意两个集合，则定义①A与B的“并集”为A∪B，且=(x)∨(x)；②A与B的“交集”为A∩B，且=(x)∧(x)；③A与B的“差集”为A-B，且=(x)∧(1-(x))；④A的“补集”为～A，且=1－(x)。第七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四经典集合运算的基本性质(1)交换率：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。(2)结合率：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。(3)分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。(4)幂等率：A∪A=A；A∩A=A(5)吸收率：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A。(6)对偶率：～(A∪B)=～A∩～B；～(A∩B)=～A∪～B。(7)互补率：A∪～A=U；A∩～A=φ。(8)对合率：～(～A)=A。(9)同一率：A∪φ=A；A∩U=A。(10)零率：A∪U=U；A∩φ=φ。(11)传递率：若AB及BC，则AC。第八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.1.3关系关系的定义定义2-5从集合X到集合Y的一个“二元关系R”，定义为笛卡儿积X×Y的一个子集RX×Y。特别地，当X=Y时，称R为“X上的二元关系”。对于任意x∈X，y∈Y，若x、y之间存在关系R，则记为xRy。事实上，关系R可以描述为集合：R={(x，y)|(x∈X)∧(y∈Y)∧xRy}显然，当xRy时必有(x，y)∈R。定义域由R的所有元素中第一客体x组成的集合称为关系R的”定义域”，记为：D(R)={x|(x,y)∈R}；值域由R的所有元素中第二客体y组成的集合称为关系R的“值域”，记为：C(R)={y|(x,y)∈R}。第九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四关系矩阵令集合X={,,…，},Y={,,…，},X到Y存在关系R，则关系R的“关系矩阵”为=,其中=逆关系

定义2-6设R是一个集合X到集合Y的关系，则从Y到X的关系={(y,x)|(x,y)∈R}称之为R的“逆关系”。合成关系

定义2-7令R是集合X到集合Y的关系，而S是集合Y到Z的关系，则称R·S为R与S的“合成关系”：R·S={(x，y)|y∈Y((x，y)∈R∧(y，z)∈S)}。特别地，关系R自身的合成运算称为R的“幂运算”：=R·R,=R·第十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例2-13设X={1,2,3},Y={a,b,c},Z={$,@,#},现有从X到Y的关系R和从Y到Z的关系S：R={(1,a),(1,b),(2,b)}S={(a,@),(b,#),(c,#)},则R·S={(1,@),(1,#),(2,#)}。下图给出了本例的复合关系的图示。采用下面的矩阵运算也能得到相同的结果：R=,S=,则有R·S=·=第十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四关系中最重要的三条性质设R是非空集合X上的关系，则(1)若对于任意x∈X均有(x,x)∈R，则称关系R具有“自反性”；(2)对有任意x、y∈X，如果由(x,y)∈R能保证(y,x)∈R，则称关系R具有“对称性”；(3)若对于任意x、y、z∈X，若(x,y)∈R且(y,z)∈R时必有(x,z)∈R，则称关系R具有“传递性”。例2-14容易证明以下关系的性质：①“朋友”关系是对称的，“父子”关系不是对称的；②整数集合中的“≤”关系是自反的、传递的，但不是对称的；③实数集合中的“相等”关系是自反的、对称的，且又是传递的。第十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四相似关系

定义2-8设R是非空集合X上的关系,若R具有自反性和对称性，则称R是集合X上的“相似关系”。等价关系定义2-9设R是非空集合X上的关系,若R具有自反性、对称性和传递性,则称R是集合X上的“等价关系”。划分设S是一个给定集合,A={,,…,},且S,i=1,2,…,n,若①S=,即的并集覆盖了S;②=φ,i≠j且i、j=1,2,…,n,即互不相交；则称A为S的一个“划分”，而集合,,…,称为划分A的“类”。第十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四等价类设R是集合X上的等价关系，对任意给定的x∈X,由所有与x有关系R的元素组成的集合称为x的“等价类”，记为，={y|y∈X,(x,y)∈R}

定理2-1设R是集合X上的等价关系则由R的等价类组成的集合构成X的一个划分。例2-15设集合X={a,b,c,d}上的关系R为R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}可以证明R是等价关系,并且它的等价类为=={a,b}=={c,d}第十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.1.4映射映射的定义

定义2-10设f是从集合X到集合Y的一个关系，若对于任意x∈X，存在唯一的y∈Y，使得(x,y)∈f，则称关系f是从集合X到集合Y的一个“映射”，记为f：X→Y。几类常见的映射①对于映射f:X→Y,若其值域等于Y，则称f是“映上的”，否则是“映内的”。·②对于映射f:X→Y,、∈X，若当≠时必有f()≠f()则称f是“一对一的”。·③如果映射f:X→Y即是一对一的，又是映上的，则称f是“1-1对应的”。逆映射

定义2-11设f:X→Y是1-1对应的映射，则f所构成的逆关系称之为f的“逆映射”，记为:Y→X。第十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.2模糊集合概念模糊集合的定义

定义2-12论域X上的“模糊集合”A定义为：A={(x,A(x))|x∈X}或者A={(x,μ(x))|x∈X}其中A(x)称为“隶属函数”，它满足：A:X→M，这里，M称为“隶属空间”。隶属度隶属函数A(x)用于刻画元素x对模糊集合A的隶属程度——“隶属度”。所以，模糊集合A的每个元素(x,A(x))都能明确地表现出x的隶属等级。A(x)的值越大，x的隶属程度就越高。模糊集合与经典集合之间的关系模糊集合概念是经典集合概念的推广，而经典集合是模糊集合的特例。当隶属函数A(x)的值域为集合{0,1}时，模糊集合A便退化为经典集合，而隶属函数就等同于特征函数。第十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四模糊幂集

定义2-13由论域X上所有模糊集合构成的集合F(X)称为“模糊幂集”。模糊幂集的特点①模糊幂集自身是经典集合②论域X上的模糊幂集真包含了经典幂集模糊集合的表示方法⑴序偶表示法或称向量表示方法⑵查德(Zadeh)方法①Σ符号法：这种表示法适合于论域为有限集合或可列集合时的模糊集合的描述。设论域为X={，，…,}，A为X上的一个模糊集合，则A可记为：A=②符号法：这种表示法适合于任何种类的论域，特别是无限论域中的模糊集合的描述。对于任意论域X中的模糊集合A可记为：A=第十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四⑶隶属函数方法用解析表达式表示隶属函数。当论域为实数集合中的某个区间时，有时将模糊集合的隶属函数用解析表达式表示很方便。例2-19对于年龄区间X=(0,100)中的“年老”和“年轻”这两个模糊集合O、Y，它们的隶属函数分别可表示为：

O(x)=Y(x)=例2-21设A表示“接近5的整数”，则模糊集合A可表示为：①A={(3,0.2),(4,0.5),(5,1),(6,0.5),(7,0.2)};②A=0.2/3+0.5/4+1/5+0.5/6+0.2/7;③A(x)=第十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.3隶属构造函数在模糊数学中，隶属度是建立模糊集合论的基石，隶属函数是描述模糊性的关键。隶属函数能否反映出客观事实将直接影响应用效果。由于人们认识事物的局限性，我们通常只能构造出一个近似的隶属函数。2.3.1概述①例证法：从已知的有限个隶属值A(x)中来估计论域X上的模糊集合A的隶属函数。②模糊统计法：在某些情况下，隶属函数可以用统计方法来确定。③蕴涵解析定义法：根据微积分的理论来确定隶属函数。假设隶属函数A(x)是连续可微的，则可用微分的方法计算A(x)。④二元对比法：采用对比的方法确定隶属值。这种方法还根据具体的实现分为相对比较法、对比平均法、择优比较法和优先关系定序法。⑤三分法：类似于模糊统计法，也是用随机区间的思想来处理模糊性的实验模型。⑥模糊分布法：从给定的一系列隶属函数解析式选择出合适的函数作为自己的模糊函数。第十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.3.2模糊统计隶属频率的稳定性类似于随机试验，我们可以进行模糊统计试验。模糊统计试验也会表现出一定的统计规律，这种规律被称为隶属频率的稳定性。模糊统计试验的基本原理设A是论域X中的模糊集合，现考虑x∈X对模糊集合A的隶属度。在论域X中构造一个边界可变的、可移动的普通集合S，这个集合S往往是各种不同的人对于模糊集合A的一种肯定性的评价。对于特定的x，S中可以含有x，也可以不含有x。假设进行了n次模糊统计试验，其中有m次x∈X，则m与n之比称为x对模糊集合A的隶属频率。事实证明，随着试验次数n的增大，x对A的隶属频率将趋于稳定。这个稳定值可以作为x对模糊集合A的隶属度A(x)。模糊统计的方法的实质模糊统计方法体现了用确定的手段去把握和研究模糊性。通过部分人(例如专家等)评分的方法来确定隶属度是一种广泛使用的方法，例如跳水比赛、体操比赛、教学质量、学术水平等的评判，将其结果进行适当的处理都可能取得较好的效果。第二十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四129人认为“年轻人”的年龄范围调查记录“27岁”对“年轻人”模糊集合A的隶属度：A(27)=101/129=0.78第二十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四表2-2给出了在不同人数的统计调查中，“27岁”对模糊集合A的隶属频率。从表中可以看出隶属频率的稳定性。2.3.3模糊分布第二十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.4截集截集的引入将“发烧病人”表示为模糊集合： A＝{(x1,0.9),(x2,0),(x3,0.4),(x4,1),(x5,0.7)};这样，可以对发烧病人进行一些分类。例如，可将隶属函数≥0.9的病人分出作为“发高烧”进行特别护理： A0.9＝{x1,x4};类似地，我们还可以有： A0.8＝{x1,x4}; A0.4＝{x2,x3,x4,x5}。 一般地，我们用Aλ表示A(x)≥λ的元素x组成的集合。第二十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四截集的定义定义2-14设A为论域X中的模糊集合，λ∈[0，1]，定义A的“λ截集”为集合Aλ＝{x|A(x)≥λ}实数λ称为“阈值”(又称“置信水平”)。特别地，集合A’λ＝{x|A(x)＞λ}称为A的“λ强截集”。截集的特点模糊集合A的截集Aλ是经典集合，它是由论域X中所有隶属度等于或超过λ的元素组成。截集的性质

定理2-2令A、B为模糊集合，则以下等式成立： ①(A∪B)λ=Aλ∪Bλ ②(A∩B)λ=Aλ∩Bλ 证明：对于式①：

∵x∈(A∪B)λ

∴(A∪B)(x)≥λ (A(x)∨B(x))≥λ (A(x)≥λ)∨(B(x)≥λ) (x∈Aλ)∨(x∈Bλ) x∈(Aλ∪Bλ)故式①成立。反方向可同样证明。用类似的方法可证明式②。第三十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四定理2-3令A为模糊集合，α、β∈[0,1]且α≤β，则。证明：对于任意的，可得≥β∵α≤β∴≥α可得。反方向可举出反例。定理2-4令λ∈[0，1]，I为其下标集合，Ai为模糊集合，其中i∈I，则有： ① ②证明①：对于任意x0∈，在下标集合I中必存在某一元素i0，使得x0∈。由截集定义知≥λ，从而得≥λ，即

≥λ，故得x0∈,因此式①成立。用类似的方法可证明式②。第三十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例2－25设Ai为论域X中的无数个模糊集合，这里的i为正整数。记模糊集合 A=()(定理2-4式①左边)，令AI的截集之并集(定理2－4式①右边)为 B=若Ai的隶属函数为Ai(x)=(0.5(i-1))/i。这不难推出A(x)=0.5。这说明论域X中的任何元素对于模糊集合A的隶属度均为0.5，故有A0.5=X，即λ=0.5时，Ai之并的截集包含了论域中的所有元素。现在考虑定理2－4式①右边的情况。显然对于任意正整数i，(Ai)0.5=φ，故有B0.5=φ。这说明当λ=0.5时，Ai的λ截集之并不包含论域中的任何元素。由以上两方面的讨论得A0.5≠B0.5。第三十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四几个概念定义2-15设A为论域X中的模糊集合，定义：①A的“核”为：KerA={x|A(x)=1}(注，Ker为Kernel的缩写)；②A的“支集”为：SuppA={x|A(x)>0}(注，Supp为Support的缩写)；

③若KerA≠φ，则称A为“正规模糊集”。2.5模糊集合代数运算什么是模糊集合的代数运算对相应的隶属函数进行特定的运算，并且由此得到新的隶属函数，从而确定出新的模糊集合。模糊集合之间的基本关系定义2-16令A、B为论域X中的模糊集合，对于任意X中的元素x：①A=φ，当且仅当≡0；A=X，当且仅当≡1。②A包含于B内，当且仅当≤。③A与B相等，当且仅当=。第三十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四模糊集合的基本运算定义2-17令A、B为论域X中的模糊集合，对于任意X中的元素x：①A与B之“并集”记为A∪B=(A(x)∨B(x))／x即模糊集合A∪B的隶属函数=max(,)记作∨或A(x)∨B(x)。②A与B之“交集”记为A∩B=(A(x)∧B(x))／x即模糊集合A∩B的隶属函数=min(,)记作∧或A(x)∧B(x)。③A的“补集”(又称“余集”)记为~A=(1－A(x))／x即模糊集合~A的隶属函数＝1－或记为1－A(x)。模糊集合并、交运算还可以推广至任意多个设Ai为模糊集合，且i∈I(I为某种下标集合)，则有：①令A=，则定义：=；

②令A=，则定义：=。第三十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四模糊集合的运算性质交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。幂等律：A∪A＝A；A∩A＝A。吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A。对偶律：~(A∪B)=~A∩~B；~(A∩B)=~A∪~B。对合律：~(~A)=A同一律：A∪φ=A；A∩X=A。零律：A∪X=X；A∩φ=φ。第三十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四证明对偶律(德·莫根律)中的第一式证明：~(A∪B)(x)=1－(A∪B)(x) =1－(A(x)∨B(x)) =(1－A(x))∧(1－B(x)) =~A(x)∧~B(x) =(~A)∩~B)(x)故得~(A∪B)=~A∩~B。模糊集合不满足的规律①A∪~A≠X②A∩~A≠φ③(~A)λ≠~(Aλ)模糊集合的性质命题2-1若论域X中的模糊集合A、B满足，则①对于X中任意元素x：A（x）≤B（x）；②~B~A。第三十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四代数和与代数积定义2-17’令A、B为论域X中的模糊集合，对于任意X中的元素x：①A与B的代数和，记作AB＝；②A与B的代数积，记作A·B＝。有关代数和与代数积的运算性质①当A、B为经典集合时，AB＝A∪B，A·B＝A∩B

②对偶律：～(AB)＝～A·～B，～(A·B)＝～A～B

③恒等律：AΦ＝A，A·X＝A

④零律：AX＝X，A·Φ＝Φ

⑤分配律：A·(B∩C)＝(A·B)∩(A·C)A·(B∪C)＝(A·B)∪(A·C)A(B∩C）＝(AB)∩(AC)A(B∪C）＝(AB)∪(AC)第三十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2.6分解定理分解定理的作用模糊集合A的λ截集是经典集合，λ由1趋向于0时，Aλ就有核KerA变为支集SuppA。由于模糊集合A的核与支集均为经典集合，所以这自然使得我们考虑能否用经典集合来表示模糊集合。数积定义2-18设A为论域X中的模糊集合，λ∈[0，1]，定义数λ与集合Aλ的“数积”为模糊集合B=λAλ，其隶属函数为： B（x）＝min(λ，)其中为截集Aλ的特征函数。数积B的隶属函数还可记为：

B（x）=第三十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四分解定理定理2-5令A为论域X中的模糊集合，则A=λAλ

证