2023届高中数学大题二轮复习第36讲函数的最值-解析版

第36讲函数的最值

最值就是函数在某个区间上的最大值和最小值,从函数图像直观说来，最大值与

最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点，由最大值和最小值可以确定函数

的值域，我们来看最值的具体定义：

(1)设函数/(X)的定义域为。，若切GD，使得对VxG。均满足/(x)<y(x0),

那么称X=Xo为函数/(X)的一个最大值点,/(占)称为函数/(X)的最大值.

(2)设函数/(X)的定义域为。，若丸e。,使得对Vxe。,均满足/(力之/(毛),

那么称x=x0为函数/(x)的一个最小值点,/优)称为函数/(x)的最小值.

最值是函数的一个重要特征值,研究最值可以得出函数值域，也可以用在求解不

等式相关的问题中.

【例】证明不等式InxWx-l,则构造函数/(x)=Inx-x+l,可通过导数求出

/(x)a="1)=0,由此可得到对于任意的％>0,均有/(x)W而=0.故

lnx-x+1<0,Inx<x-1.

那如何求解出函数的最值呢?当然还是用到我们的导数来求解，最值问题通常会

结合前面所学的单调性、极值和边界值最终来确定最值，下面我们一一讲解.

求无参函数的最值

题型:求函数『(X)在尤上的最大值f(x)1rax和最小值〃力碗.

方法步骤:一般来说，最值点只可能在极值点或者边界点处产生，对于无参函数最

值的解题步骤如下：

第一步:求出极值点和极值，/'($)=0=>极值为/(两).

第二步:求出边界值，即/(加)和/(〃).

第三步:比较极值和边界值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值.

【例1】函数/（x）=g+lor-l,求〃x）在区间（,e上的最大值.

【解析】仆）=弓+[?产[*一

；.当时，((x)=^^<0,即单调递减.

当xe(l,e)时,/'(x)=T>0,即“X)单调递增.

又《卜一2,〃e）《而e.2>:,

〃x)在区间［!,e］上的最大值为/⑺皿=/口］=e-2.

_eJ\e/

【例2】已知函数〃力=也+刈判断〃x）的单调性，并求〃x）在-,e上的最

xe

值.

【解析】〃力=蛆+》的定义域为（0,+"）

X

\1-lnx,l+x2-Inx

/(x)=^F-+l=

A-X"0

?丫2_i(y/2X+1)(y/Q,X-1)

设g(%)=］+12-山,则g'(x)=-----=-----------------•令g'(x)=0得

XX

也

"2'

.•.g(x)在0,上上单调递减，在出,+R上单调递增，

、2JI2,

(6、aB

则g(%Lin=g—=。-In上>0「./(x)在(0,+8)上为增函数.

\7

•・J(X)在1,e上的最大值为〃e)=：+e,最小值为/(1=£-e.

讨论含参函数的最值

讨论含参函数/(x)在区间［a,目上的最值,核心在于求出“X)在区间上的

单调性和极值，对于最值、单调性和极值之间的关系，有如下常用结论：

(1)若函数在区间［a,0上单调递增或递减，则/(a)与/(。)一个为最大值，另一

个为最小值.

(2)若函数在区间［a,句内有极值，则要先求出函数在［a,目上的极值，再与/(«),

f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值.

(3)函数〃x)在区间(a/)上有唯-个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值

点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

除上述结论外，我们解题时通常会碰到一种求最大或者最小值的常考模型：

最大值模型:求解含参函数y=f(k,x)(k为参数)在xe［a,句上的最大值ymax.解

题步骤：

第一步:求出含参的极值点，这个极值点一般为极大值点,并用参数表示，即

/'(左，而)=On/=g(4>

第二步:把极大值点Xo=g(A)分在区间的左、中、右三种情况来讨论.

⑴当极大值点在区间左边时，即Xo=g(4)4a,函数y=〃幺x)(左为参数)在

xe［a,。］上单调递减，则K1ax=/(")•

⑵当极大值点在区间中间时，即a<x0=g（攵）<b,函数y=（人为参数）在

%目凡引上单调递增在法屈目上单调递减恻加广八%〉

⑶当极大值点在区间右边时，即xo=g（k）2"，函数了=/（左，》）注为参数）在

x«a,可上单调递增，则丁2=〃江

注意:求最小值的模型类似，可自行总结。

［例1］已知a为实数，函数”x）=4（x—a）,设g（a）为了（力在区间［0,2］上的

最小值，请写出g（a）的表达式.

x-a_3x-a

【解析】/'（*）=«+(x>0)若aWO,则/'(x)>0J(x)在区间

2\/x2y[x

［0,+8）上单调递增.

若a>0,令r（x）=0,得尤=（极值点），当0<x<］时,r（x）<0;当尤时，

广（力>0/=］是极小值点.”X）有单调递减区间（0微，单调递增区间

・•.若aKO,即极小值点在区间左边,〃x）在［0,2］上单调递增.

・•.g(a)=〃O)=O.

若0<a<6,即极小值点在区间中间,〃x）在0,1上单调递减，在仁,2上单调

递增,一（小呜卜号存

若a»6,即极小值点在区间右边,〃力在［0,2］上单调递减，

・•.g(a)=〃2)=0(2-a).

［例2］已知函数/(x)=/e，(a>0),求函数/(x)在［1,2］上的最大值.

【解析】/(x)=--ev(tz>0),

则r(力」_炉.令/(X)=0,解得X=1/(极值点).

aaa

当x<In'时,/(尤)>0.当x>In,时,/'(X)<0.x=ln—为极大值点.

In1-、.减区间为|lnL,+e］.

故函数〃x)的增区间为一8,

aja

⑴当ln：N2,即0<aW5,极大值点在区间右边时,/(x)在区间［1,2］上单调递

增，则/(月心=〃2)=2—e?.⑵当1<1J<2,即极大值点在区间中间

时，

/(x)在区间1,ln［1)上单调递增，在区间1n：,2上单调递减,

ci

则/(%*=小.

⑶当In*1,即。弓极大值点在区间左边时,/(可在区间［1,2］上单调递减，则

小)3=〃1)=：-e-

【例3】求g(x)=alnx+2x2一以一4%在区间［l,e］上的最小值//(a).

［解析1g(x)=«lnx+2x2-ar-4x,则g'(x)=0+4x-a-4=(叙1)

令g<x)=0得x或x=l.

⑴当341,即晨4时，83在［3上为增函数,/2(。)=86=-。一2.

a、

⑵当l<£<e,即4<a<4e时,g(x)在1,上单调递减，在e上单调递增,

4;

、

•・加力且仁^a\n---a2-a.

/48

⑶当即心4e时,g(x)在［l,e］上为减函数,

/./?(tz)=(e)=(1-e)tz+2e2-4e.

—ci—2,a<4

综上所述,/z(a)=,a］2AA

aln----cT—〃，4<a<4c.

48

(l-e)a+2e2-4e,a>4e

已知最值反求参数

反求参数问题是给出函数在区间上的最值，来反求参数，其一般步骤是：

第一步:按照上一节的步骤，先讨论出含参数单调性和最值，这个最值通常含参

数.

第二步:带人已知的最值反求解参数，求解后验证，不满足则舍去.

【例1】已知函数”刈=三一2向.

⑴讨论“X)的单调性.

⑵若/(x)在口,+。)上的最大值为1,求。的值.

【解析】⑴/(x)的定义域为(O,+”)"'(x)=-十：=-三等.

①当心0时，尸(x)<0,/(x)在(0,+8)上单调递减.

②当a<0时，令/'(x)<0得x>—夕则/(x)的单调递减区间为1-会+叼.令

/(无)>0,得0<%<-多则〃x)的单调递增区间为(0,-］］

(2)由口)题知,

i)当心0时,“X)在［1,+8)上单调递减，

；J(X)1rax="1)=a=1，则a=1.

ii)当-2Wa<0时在［1,+。)上单调递减，

:.f(x)nm=/(l)=a=lJiJ-2<«<0,不合题意.

iii)当a<-2时,/(XL=/12=-2-2111-］a<-2,:.-2-2\n一?<一2,

则a<-2不合题意.综上,a=1.

【例2】已知函数/(x)=lnx-幺,awR.

⑴讨论函数”X)在定义域上单调性.

(2)若函数/(X)在［1,e］上的最小值为方求。的值.

【解析】⑴函数的定义域为(0,+力),且/'(力=三工

①当a20时,/'(x)>0,/(x)在(0,+e)上单调递增.

②当a<0时，令/'(x)=0,得x=-a,

.•./(X)在(0,-a)上单调递减，在(-a,+e)上单调递增.

(2)由⑴题知，/但=卓，

①若a2-1,则x+a20,即fr(x)>0,在［l,e］上恒成立，

此时〃x)在［l,e］上为增函数.

/(x)在［l,e］上的最小值为|,.-./(x)min="1)=—a=看；.a=—|(舍去).

②若aW-e,则x+a<0,即/(x)<0,在［l,e］上恒成立，

此时“X)在［l,e］上为减函数，

”(x)min=/(e)=1-£=|・・•.a=-］(舍去).

③若Yvav-l,令/(%)=0得了=-〃.

当1vxv-口时,广(工)v0,

.-./(x)在(一1,a)上为减函数.当一a<x<e口寸，/(x)>0,

・・.〃%)在(-a,e)上为增函数.

/(-a)=In(—a)+1=|.

.1.a=-x/e.综上可知:a=-Ve

［例3］已知函数8