2023届新高考数学真题解析几何讲义第1讲椭圆的定义及其应用

2023届新高考数学真题解析几何专题讲义第1讲椭圆的定

义及其应用

一、问题综述

本讲梳理椭圆的定义及其应用.椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点.

（-）椭圆的定义

平面内到两个定点打、鸟的距离之和等于定值2“（2a>归6|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做

椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

（二）椭圆定义的应用

主要有下面几方面的应用：

1.求标准方程：2.焦点三角形中的计算问题；3.求离心率；4.求最值或范围.

二、典例分析

类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程

【例1】A48C的底边BC=16,4C和两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹方程.

【解析】以8c所在的直线为X轴，8c中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为（x,y）,由

|GC|+|G8|=20,知G点的轨迹是以8、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因"10,c=8,有6=6,

22

故其方程为r工+p匕=l(yx0).

100367

【方法小结】由已知可得|GC|+|G8|=20,再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点.

【例2】已知动圆P过定点/（-3,0）,并且在定圆8：（X-3）2+/=64的内部与其相内切，求动圆圆心P

的轨迹方程.

【解析】如图所示，设动圆P和定圆8内切于点V.动点尸到两定点，即定点Z（-3,0）和定圆圆心

夙3,0）距离之和恰好等于定圆半径，BP\P^\+\PB\^\PM\+\PB\=\BM\-8>\AB\=6.

.•.点尸的轨迹是以Z,8为两焦点，半长轴为4,半短轴长为6=，42-3?=，'的椭圆,

产的轨迹方程为：—+^-=1.

【例3】已知圆C:(x-3)2+炉=100及点4TO),P是圆C上任意一点，线段我的垂直平分线/与W相交

于点。，求点0的轨迹方程。

【解析】如图所示.

是线段总的垂直平分线，

，闻=闻.

［阕*闻卜用+|@卜5=10,且10>6.

.♦•点。的轨迹是以4、C为焦点的椭圆，

且Zz=10,c=3,即。=5,b=4.

点。的轨迹方程为三+匕=1.

2516

【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据桶圆的标准方程，求轨迹的方程.结

合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法.

【变式训练】

22

1.已知椭圆下方=1(。>6>0)的左、右焦点分别是耳(-c,0)、玛(c,o)，。是椭圆外的动点，满

足后回=2a.点尸是线段耳。与该椭圆的交点，点T在线段月0上，并且满足万•西=0,西卜0.求

点7的轨迹C的方程.

【解析】当西=0时，点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.

当|可卜0|西卜0且|西快0时，由西•西=0,得百_L西.

由厢卜2°,得附|+|叫=2a,

又|P用+|尸月|=2〃，所以忸0卜R同，所以7为线段乙。的中点.

连接07,则07为△0名乙的中位线，所以匹卜;|丽=；(附|+附|)=a,

设点T的坐标为(x,y),则.故点7的轨迹c的方程是/+产=。2.

【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

类型二：焦点三角形中的计算问题

【例1】已知△/BC的顶点8,C在椭圆土+V=1上，顶点/是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦

3-

点在8c边上，则△/8C的周长是（）

A.2百B.6C.473D.12

【答案】C

【解析】由椭圆的定义知：|网+忸尸|=|C4|+|C尸|=2a,.•.周长为4a=4石（尸是椭圆的另外一个焦

点）.

【方法小结】（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于闺鸟|）的点的轨迹叫做椭

圆.

（2）椭圆上的点必定适合椭圆的定义，^\MF}\+\MF2\^2a,利用这个等式可以解决椭圆上的点与

焦点有关的距离问题.

22

【例2】已知匹、g是椭圆C:1r+3=1（a>8>0）的两个焦点，尸为椭DC上的一点，且所_1_丽・若

的面积为9,则6=.

【答案】3

【解析】由题意知|产制+|尸周=2。，PFtlPF\,

•••|尸闻2+山闾2=应引=4/,

•••（|尸耳|+|尸引丫-2俨/讣|距|=牝2,

222

•••2\PF,\-\PF2\=4a-4c=4b.

2

A\PFt\-\PF2\=2b,

用也卜;X2〃=/=9.

Z?=3.

【方法小结】关键抓住点尸为椭圆C上的一点，从而有|尸耳|+归用=2〃，再利用西，逐，进而得

解.椭圆上一点尸与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定

义和余弦定理可求|知讣|尸周;通过整体代入可求其面积等.

【变式训练】1.椭圆^+[=1上的点/到焦点耳的距离为2,N为儿用的中点，则|明（。为

坐标原点）的值为（）

A.4B.2C.8D.-

2

【解析】如图所示，设椭圆的另一个焦点为工，由椭圆第一定义得|M|+W怎|=2。=10,所以

I年1=10-|4格|=10-2=8,又因为CW为AA/6芯的中位线，所以|ON|=g|g|=4,故答案为A.

2.如图，把椭圆M+藉=1的长轴ZB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于々、

P2....£七个点，户是椭圆的一个焦点,则由同+内臼+…+出产|=.

【答案】35

【解析】设椭圆右焦点为尸，由椭圆的对称性知，山尸|=比尸’|,比产|=|兄尸|,区川=忸尸，|,

:•|阳+阳+-“+出厂|=(|加+出厂'|)+(|"1+|"'|)+(|91+区尸1)+；(|/|+|"1)=7。=35.

类型三：利用椭圆的定义求离心率

【例1】设椭圆的两个焦点分别为耳工，过片作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△片「用为等腰直

角三角形，则椭圆的离心率为.

【解析】设|尸片|=机，则阳周=矶|尸周="",

由点夕在椭圆上，得2〃■尸耳|+|尸8]=(近+1)加，

又2c=7〃，所以0=至=丁='一=0—1.

2a(V2+l)w

2,r2

【例2】己知倾斜角为60。的直线,与椭圆7V=l(a>b>0)交于48两点，且经过椭圆的左焦点

F,若2BF=AF,则椭圆的离心率为

【解析】设忸耳|=机，用=2〃?，则|典|=2a-2m,忸闻=2"八,

在△?(石鸟，48片心中，分别由余弦定理得

(2a-2〃?)2=(2m)2+(2c)2-2-2c2mcos60°\4b2-Sam=-4cm

!,即《

(2a-m)2=m2+(2c)2-2-2c-mcos120°[4b2-4am-2cm

所以4/?2-iam=-2(46?-，即3b2=4am,

7

代入(2)得b?=2c/n,所以6c〃？=4〃m，故&=—r=—.

a3

【变式训练】

1.如图所示，耳,写分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且“与，耳月，/与收=60。，则

椭圆的离心率为.

【解析】设阿外|=”，则阿周二2加，闺用=,

由点”在椭圆上，得24二|孙|+|加居|=3加，

又2c=b〃i,所以《=至=画=巫.

la3m3

2.设P是椭圆*■+/=1(a>6>0)上任一点，月(-c,0),

玛(c,0)为焦点,4Pg=a,

NPRF=p.

(1)求证：离心率e=sm(a+/0；⑵求|咫『十忸人「的最值.

sina+sin£

【解析】(1)由正弦定理得因=吧=、，

sinasin/}sin(a+夕)

由等比性质得因1=/二咄㈣，所以户」叫+啊,

sinasinpsina+sin/?sin(a+p)sincr+sin/}

所以c=2c=巧引=sin(a+0

2a|P/[+|P用sina+sin

(2)设俨胤==〃,贝！j加+〃=2a,所以

3

+\PF2|=加3+〃3=（加+〃儿%2_加〃+〃2）

=（m+〃）[（〃？+-3加〃]

=2〃（4]-3相〃）

=8/-6amn

将〃=2a-加代入上式，得

店片「+|Pg『=8"-6am（2a一〃7）=2a3+6a（〃?一,

5Cm=\PF]\e[a-c,a+c],所以：

当用=Q时，|P£『+|尸周3取得最小值2/；

当〃2=Q+C或加=Q-C时，|尸片|3+|叫『取得最大值2/+6«2.

类型四：利用椭圆的定义求解最值问题

【例1】以椭圆二+且=1的焦点为焦点，过直线/：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的

123

长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直

线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称

的知识就可解决.

【解析】如图所示，椭圆工+3=1的焦点为耳(-3,0),乙(3,0).

点耳关于直线/：x-y+9=0的对称点F的坐标为(-9,6),

直线尸用的方程为x+2y-3=0.

x+2y-3=0

解方程组得交点M的坐标为(-5,4).此时|孙|+|〃周最小.

x-y+9=0

所求椭圆的长轴2〃=|.|+阿玛=|五周=6

a=3>[5,又c=3,

/.b2=a2—c2=(3A/J)—32=36.

因此，所求椭圆的方程为三+4=1.

4536

【方法小结】解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线

同侧两已知点的距离之和最小.

【例2】⑴如果加是以4、8为焦点的椭圆?+上1上任一点，若点”到点与点8的

距离之差为s,则s的最大值是多少？

(2)如果M是以4、8为焦点的椭圆土+匕=1上任一点，若点/到点C与点8的距离之和

43

为s,贝Us的取值范围是多少？

【解析】(1)||MC|-|A/5||<|5C|=y-,延长8c与椭圆交于点。，

则当"与。重合时，s取得最大、最小值正.

2

(2)eg』)，连结W，由椭圆定义可得：|网+|MC|=2a-|M4|+|MC|=4-(|M4卜M|),

由||四|-w=孚，得-半W4HMe区孚,

所以4-半目朋3|+M。降4+半，

叵

当且仅当力、M、C三点共线时,取得最大、最小值，如上图所示.故$

【变式训练】

22

1.已知P为椭圆a+}=1(a>6>0)的上一点，求1Ml的最大值.

I尸"+1尸乙|丫

【解析】由点P在椭圆上，得|「耳|+|仍|=20,所以|列讣俨用W2

2J一a

当且仅当|明|=|尸61=。时，|P周［PGl取得最大值/(此时为P椭圆的上顶点或下顶点).

类型五：利用定义构造椭圆解题

【例1】(2017年浙江高考第15题)

已知向量B满足|万|=1,\b\=2,则B+.+归-4的最小值是,最大值是.

【答案】4,2^5

【解法1］作丽=不，点尸在单位圆上，设点B(2,0),C(-2,0),则归+闸+口-可=|P3|+|PC|,

点P在椭圆1+/=1上，|P5|+|P'C|=2括，

显然|尸例|+|尸。仔|尸到+甲。|=2石，当且仅当点为椭圆的上下顶点等号成立;

又归却+|PC|》忸C|=4,.•.根+可+*可的最小值是4,最大值是2遥.

【解法2】作a=1,OA'=-a,OB=b,则罚=Z+B,BA=a-b

|«+b|+|«-i|>max||(5+b)+{a-研：

|(1+B)-(a-研=max{2同,2忖}=4；

点8既在半径为2的圆上，又在焦距为2的椭圆上，且归+可+忖-闸表示的长轴,

当椭圆与圆相切时，短轴最长，此时长轴也是最长;

归+可+,-可的最小值是4,最大值是26.

【方法小结】两个解法都是通过构造椭圆，转化为定圆上的动点到两定点距离之和的最值问题.

【例2】A/LBC中,角4民C的对边分别为。，＞c,若sinZ+sin8+AsinZsinB=0,且a+b=2c,则

2的最大值为.

【解析】由条件a+b=2c可构造椭圆三+A=1,其中q=c,c1--c,b}=^-c,如图所示.

a}b}22

因为sin/+sin8+/IsinZsin8=0,所以a+b+aasinB=0,所以；1=——=,其中//为力8边

asin5h

上的高.

当〃取得最大值时，义最大.显然〃2=4=且。，^4.=--=--^=-—■

2矶百3

【方法小结】该法同样通过构造椭圆来解决问题.

【变式训练】

1.锐角A48c中，BC=2,sinB+sinC=2sin4,求8c边上的中线4。的取值范围.

【解析】由sinB+sinC=2sin/得，\AB\+\AC\^2\BC\=^>\BC\,

?2

故4在以8,C为焦点，长轴长为4的椭圆上，椭圆方程为：+9=1

又A43c为锐角三角形，所以-3<x<3,

22

4的轨迹方程为《+Jx<口，

43I22）

当A为短轴顶点时，AD最短，此时=V3；

时，Xq=孚，故|/。怛Vi,

当力坐标为

三、巩固练习

1.（1）方程J（X-3）2+/+J（X+3）2+V=10表示的曲线是,其标准方程是

（2）方程J（X-3）2+J?+J（X+3）2+J?=6表示的曲线是,其方程是O

（3）方程J（X-3）2+/+"（X+3）2+/=4表示的曲线,

（4）方程+3-3）2+JY+3+3）2=10表示的曲线是,其标准方程是。

2.已知椭圆三+乙=1上一点到椭圆的一个焦点的距离为2,则点M到另一个焦点的距离为（）

169

A.1B.2C.4D.6

22

3.已知大，鸟是椭圆器+卷=1的两个焦点，过片的直线与椭圆交于M,N两点，则△MN工的周长为（）

A.8B.16C.25D.32

4.己知耳分别是椭圆工+匕=1的左、右焦点，为椭圆上一点，且乙466=45。，则的面积为

（）

A.7B.-C.-D.—

422

5.过点42,0）与圆=16相内切的圆的圆心p的轨迹是（）

A,椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

6.已知椭圆的焦点坐标为(-百,0),(百,0),并且经过点(2,1),则椭圆的标准方程为

7.已知△NBC的周长是16,4(-3,0),8(3,0)则动点的轨迹方程是()

x2V2

AY+LIB+=1D.—+2—=l(y^0)

2516',+(=BT6i?1625

顶点B在椭圆占+金=1上，则

8.在平面直角坐标系中，已知A48C顶点工(-4,0)和C(4,0),

259

sin4+sinC

sin8

9.已知/、B、C是直线/上的三点，且以a=忸［=6,。。'切直线/于点力,又过B、C作00,异于/

的两切线，设这两切线交于点p,求点尸的轨迹方程.

10.(2012广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆G与抛物线G：d=4y有一个相同的焦点E，直

线/;y=2x+"7与抛物线G只有一个公共点.

(1)求直线/的方程；

(2)若椭圆G经过直线/上的点尸，当椭圆G的的离心率取得最大值时，求椭圆G的方程及点P的坐标.

四、巩固练习参考答案

1.【答案】(1)椭圆，—+^-=1；(2)线段，y=0(-3WxW3)；(3)不存在；⑷椭圆，匕+二=1.

2516\'2516

2.【答案】D；【解析】由椭圆方程知2a=8,|党|=2,|"月|=2a-2=6.

3.【答案】B.

4.【答案】C.【解析】a=3,b=y/7,c=>/2,设|力耳|=〃?，则〃=6-m，

22

在\AF}F2中，由余弦定理得(6一〃ip=m+(2c)一2x2cx〃?cos45°,

、7

即(6—=〃/+8—4加，解得〃？=5，

故=；x2cX〃?sin45。='全字=人

5.【答案】A.

6.【答案】w+广=1.

63

7.【答案】B

8.【答案】

4

9.【解析】设过3、C作。。'异于/的两切线分别切。。'于。、E两点,两切线交于点尸.

由切线的性质知：|必=|比|PD|=|PE|,|。|=|侬,

故|p@+|PC|=\BD\+\PD\+\PC\=怛a+|PE|+|PC|=|网+|C£|=|/回+|C/|=6+12=18>6=|8C|,

故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，

以/所在的直线为x轴，以8c的中点为原点，建立坐标系,

■）?

可求得动点P的轨迹方程为：工+匕=1

8172

10.【解析】

（1）解法1：由卜=2x+m,消去歹，得X2_8X-4〃?=0.

[x2=4y

•.•直线/与抛物线G只有一个公共AA=82+4x4/77=0,解得加=—4.

.•.直线/的方程为y=2x-4.

解法2：设直线/与抛物线C2的公共点坐标为（X。/。），

由y=得y'=gx,；•直线/的斜率％=川工巾=；.%.依题意得;x（）=2,解得x0=4.

把々=4代入抛物线G的方程，得盟=4.

,点（x。,％）在直线/上，4=2x4+m,解得切=-4.

.•.直线/的方程为y=2x-4.

（2）解法1：:抛物线6的焦点为4（01），

依题意知椭圆C,的两个焦点的坐标为片（0,1）,^（0,-1）.

设点£（0,1）关于直线/的对称点为耳'（%,%）,

AZ1X2=_1

则J演）解得点耳’（4,一1）.

A11=2X^-4

22

...直线/与直线耳£：y=-1的交点为片•

由椭圆的定义及平面几何知识得：

椭圆G的长轴长2”|产制+归用=,川+1尸周耳£园=4,

其中当点尸与点号重合时，上面不等式取等号.

.•.心2.：.e=-^~.

a2

故当。=2时，[=2

此时椭圆G的方程为（+5=1，点尸的坐标为0，一1）.

解法2：•・•抛物线G的焦点为耳（。,1），

依题意知椭圆C,的两个焦点的坐标为4（0,1）,月（0,-1）,

设椭圆G的方程为与十==1（。>1）,

aa-1

y=2x-4

由厂/=1消去y，得（5/-4卜2-16（/_1卜+（/_1）（16—叫=0.（*）

由4=[16（/_1）了_4（5。2_4）（/_1）（16_*》0,

得5/-20/20.解得/24.：.a>2.：.e=-^：-.

a2

12r2

当4=2时，%、=；,此时椭圆G的方程为3v+3=1.

把〃=2代入方程（*）,解得x=；,y=-[.

...点尸的坐标为（之,

第2讲双曲线的定义及其应用

一.问题综述

本讲梳理双曲线的定义及其应用.

(一)双曲线的定义：

平面内到两个定点片、鸟的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<山周)的点的轨迹叫做双曲线，

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

(二)双曲线定义的应用

主要有下面几方面的应用：

1.判断轨迹形状；2.求标准方程；3.求最值或范围.

二.典例分析

类型一：判断轨迹形状

【例1】已知乙是定点，动点〃满足|孙|-也8匕8,且|66|=10则点M的轨迹为()

A.双曲线B.直线C.圆D.射线

【解析】由题意得|-|仍|=8<|不用|=10,所以点"的轨迹为双曲线。

【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：

设平面内动点M到两个定点耳、心的距离之差的绝对值等于定值2a(a>0),即||岫||=2a,

(1)若0<2a<|4g],则点"的轨迹是双曲线(包括两支).

(2)若|加不-|知6|=2。，则点〃的轨迹是双曲线的一支；^\MF2\-\MFl\=2a,则点M的轨迹是双曲

线的另一支.

(3)若2a=|耳闾，则点〃的轨迹是两条射线.

(4)若2a>|百月则点〃的轨迹不存在.

【变式训练】

1.方程J(X-6)2+T-J(X+6)2+T=8表示的曲线是•其标准方程是.

2.方程J(x-6>+T-J(x+6>+丁=12表示的曲线是,其方程是.

3.方程J(x-6)2+y2-J(x+6)2+T=14表示的曲线.

【答案】1.双曲线的左支，上一匕=l(xW—4)；

1620'7

2.两条射线，y=0(x24或xW-4)；

3.不存在.

类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程

3

【例1】A48C中，5(-5,0),C(5,0),且sinC—sin8=ysin4,求点力的轨迹方程.

33

【解析】由sinC-sinB=—sin4,得27?sinC—2RsinB=—ZAsin/l,

55

：.\AB\-\AC\=^BC\,即MM=6,

・•・点力的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)，

V2a=6,2c=10,/•a=3,c=5,6=4,

所求轨迹方程为片-上=l(x>3).

916

【方法小结】由于sin4,sin5,sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R(火为ZU8C外接圆半径)，

可转化为边长的关系.再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程.结合定义求轨迹方

程是一种重要的思想方法.

Y24V2

【例2】已知双曲线/--?=1的左右焦点分别是耳，工，。是双曲线右支上的动点，过百作N片。用

的平分线的垂线，求垂足"的轨迹.

【解析】设点用的坐标为(匕田，

延长与耳加交于点7,连接OM

QM平分NF\QF2,且0M_L耳加，

二\QF^\QT\,\FtM\=\MT\,\/

又•.•点。是双曲线右支上的动点，XXDJ//

\QF\-\QF^\QT\-\QF^2a,—尸)^爹巴之

A\Fj\^2a,：.\OM\^a,即点A/在以。为圆心，a为半径的圆上./：/

'：当点。沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线，

...点M的轨迹是圆弧C8O,除去点C和。，方程为/+/=9卜竽<x43.

【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项

(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点户的运动规律，即户点满足的等量关系，

因此要学会动中求静，变中求不变.

(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检脸是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点

不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示).检验方法：研究运动中的

特殊情形或极端情形.

【变式训练】△/8C的顶点/(-5,0)、5(5,0),△NBC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程

是（）

方*白>4）

D.

【解析】如图=|/同=8,\BF\=\BE\=2,|CD|=|CF|,

所以卜|CB|=8_2=6〈卜却=10.

根据双曲线定义，所求轨迹是以4、8为焦点，实轴长为6的双曲线的右支,

方程为'——=l（x>3）.

916v）

类型三：焦点三角形中的计算问题

2，

【例1】已知尸是双曲线看弋句上一点，耳，片是双曲线的两个焦点，若陷=17,则附|的

值为.

【解析】由双曲线方程—二=1知，。=8,6=6,则c=[a2+1、=10.

6436

；产是双曲线上一点，.•』尸耳|-|尸司=24=16,又归周=17,，|尸马=1或归用=33.

又|Pg|2a-c=2,二|尸乙|=33.

【例2】已知双曲线C:5-5=l的左、右焦点分别为丹、区，尸为C右支上的一点，且|尸周=|耳居|，

则斗心的面积等于（）

A.24B.36C.48D.96

【解析】依题意得归&=|耳闾=10,由双曲线的定义，得归用一归闯=2a=6,「用=16.

【方法小结】关键抓住点P为双曲线C右支上的一点，从而有|明卜|「周=2a,再利用|P用=|耳周，进

而得解.双曲线上一点尸与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，

利用定义和余弦定理可求归用忖周；通过整体代入可求其面积等.

【变式训练】

222

1.设椭圆工+2=1和双曲线匕-/=1的公共焦点分别为耳、F,尸为这两条曲线的一个交点，则

2m32

I尸耳卜|尸用的值等于.

【答案】3.

【解析】焦点坐标为（0,±2）,由此得用-2=4,故机=6.根据椭圆与双曲线的定义可得

|不|+归用=2灰，|仍用-|P用|=26I.两式平方相减，得4「耳卜归闾=12,归耳卜|尸闾=3.

22

2.设片、鸟分别是双曲线C:£-*=l(a>0,b>0)的左、右焦点，以耳心为直径的圆与双曲线C在第

二象限的交点为尸，若双曲线C的离心率为5,贝UcosNPE£=()

3c3「4r5

AA.—B・—C•—D.—

5456

【答案】c.

【解析】依题意可知「片_LP心，设|尸用=见归用=”，

由双曲线定义知：m-n=2a①；

由勾股定理得：m2+n2=4c2②；

又由离心率：e=-=5③，

a

三式联立解得m=Sa,故cosNPF'F]=J—H-=———=—.

比周2x5a5

3.已知月、&为双曲线C:X2-J?=2的左、右焦点，点p在C上，|「周=2|P用，则cos4；Pg=()

【答案】C.

【解析】由双曲线的定义有|「用-|P周=2a=2近，；.|PE|=2|尸周=4五，

则叫"-膏I=回+产厂=.

2

'2\PF]\-\PF2\2x4必2也4

4.已知△/8P的顶点力，3分别为双曲线兰-仁=1左、右焦点，顶点尸在双曲线上，则.m..sin、的

169sinP

值等于()

A.-B.—C.-D.近

544

【答案】A.

【解析】在中，由正弦定理知回上必=粤半1=之=&=±

sinP\AB\2C105

r225

5.已知产是双曲线C：F■v-方=1(。>0]>0)上的点，片、鸟是其焦点，双曲线的离心率是：，且

可笆=0,若△尸片层面积为9,则“+b的值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C.

【解析】由西•西=0,得两_L至，设设|尸耳|=加，|尸用=〃，不妨设设加>〃，则机2+7=牝2,

m-n=2a,—mn-9»—=—,解得4，b=yjc2-a2=3,:.a+b=1.

2a4c=5

类型四：利用双曲线的定义求离心率

【例1】已知双曲线C：m-4=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，F2,过片的直线与圆/+/=/相

切，与C的左、右两支分别交于点/,B,若|/同=忸周，则C的离心率为（）

A.55+26B.5+273C.GD.75

【解析】依题意|/邳=忸/讣则|明|=|明网=忸周-忸玛|=2a,所以

|/回=M耳|+2a=4a,

又直线8耳与圆/+/=/相切，故

sinZAFtO=-,所以COS/Z£O=2,

cc

在△/片鸟中，由余弦定理得

cos4尸。-。炉+（2。）、（时J

12-2a-2cc

化简得c2-3Y=2而,所以2a2-2仍=0,即

所以白=1+仆2=1+百，于是e=£=

aaa

r22

【变式训练】已知£,写为双曲线:•-v方=1（。>0,6>0）的左、右焦点，点尸为双曲线C上一点，且

PFJPF?,ZPE工=30。，则双曲线的离心率为.

\PF-,\=y/3c,所以=与='^---------

【解析】依题意可得|P£|=c,2-=—^--=-73+1.

112a配|-|叫|出c-c

类型五：利用双曲线的定义求范围或最值

【例1】如图，"是以X、B为焦点的双曲线X2-J?=2右支上任一点，若点〃到点C（3,l）与点8的

距离之和为s,则s的取值范围是（）

A.[V26+V2,+<»）B.[V26-2>/2,+oo）

C.[后-2©后+20）D.[后-&,+8）

【解析】连结减1,由双曲线的第一定义可得：

\MB\+\MC\=\MA\-2a+\MC\=|M4|+\MC\-2y[2\AC\-2y/2=426-272

当且仅当三点共线时取得最小值.故选B.

【例2】如图，点4的坐标为（_正,0）,8是圆一指丫=1上的点，点朋■在双曲线/-匕=i右

支上，求+用的最小值，并求此时〃点的坐标.

【解析】设点。的坐标为心,0）,则点/,。为双曲线的焦点，

\MA\-\MD\=2a=2,所以|肠1|+|朋8|=2|历用+|历。]22+忸。|,/M

•••8是圆f+（y-有?=1上的点，其圆心为c（o,6），半径为1,

故忸必）|CD|—I=JK）_I,|S£）|>|CD|-I=VIO-I,

从而|A//|+|MB|22+[8£）|=布+1,

当M,B在线段CD上时取等号，此时+\MB\的最小值为710+1.

•.•直线CD的方程为夕=-》+石，因点〃在双曲线右支上，故x>0,

-#)+4垃

22X=--------------

Ux-y=43

由方程组,解得

46-4五'

,y=-x+

所以M点的坐标为（*迪,*±但）•

【方法小结】在求解有关圆锥曲线的最值问题时，如果用函数观点求解会困难重重.利用定义进行转

化，则势如破竹，能起到出奇制胜的效果。

【变式训练】尸为双曲线/-（=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+/=4和（X-4）2+/=I上的

点，则归根-|PN|的最大值为.

【解析】两圆圆心片（TO）和玛（4,0）恰为双曲线/-卷=1的两焦点.当1PM最大且归凶最小时，

1PM-|PN|最大.|尸划的最大值为尸到圆心片的距离仍用与圆月半径之和，即1PMi=|尸制+2,

同样1PMmm=IP用T，故-|印|的最大值为：（|吐|+2）-（|P用-1）=|P耳|-忸局+3=2a+3=5.

类型六：构造双曲线解题

【例3】已知△/8C中，为8c边上的中线，且满足=BC=4,求点/到直线8c

距离的最大值.

【解析】以M为原点，建立直角坐标系如图所示.

，v2

设NM=2a,则/点为双曲线从=-方=l（a>0,b>0）（其中/+/=4）