高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值讲义8北师大版选修

1.2函数的极值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)在该区间内递增f(x)在该区间内递减问题1：y＝f(x)在x＝a和x=c处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？问题2：y＝f(x)在x＝b和x=d处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？探究设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值）使函数取得极值的点x0称为极值点定义问题1：一个函数是否只有一个极值？问题2：极大值与极小值的大小关系是否唯一?探究极值点两侧函数图像有何特点?结论：极值点两侧函数图像单调性相反极值点处，f(x)=0探究思考：若f(x0)=0，则x0是否为极值点？xyO分析yx3探究函数y=f(x)在点x0取极值的充分条件是：①函数在点x0处的导数值为0②在x0点附近的左侧导数大于（小于）零，右侧小于（大于）零。y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要条件。结论因为所以例1求函数的极值.解:令解得或当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值;当x=2时,f(x)有极小值.定义域：R求解函数极值的一般步骤：小结（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格练习1、求下列函数的极值:解:令解得列表:x0f(x)+单调递增单调递减–所以,当时,f(x)有极小值定义域：R1、求下列函数的极值:解:解得列表:x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习定义域：R2、

(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)

f/(x)

f(x)000--++减减增增101

导数为零的点不一定是极值点！练习解：定义域：Rx=-1,x=0,x=1;x=0是函数极小值点，极小值y=0.例2、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10.求常数a，b的值．[思路点拨]由函数f(x)在x＝1处有极值10，可得f′(1)＝0且f(1)＝10，由此列出方程求a，b的值，但还要注意检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件．已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：

(1)根据极值点的导数为0