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文档简介
学科素养拓训
整式的乘法与因式分解是基本且重要的代数知识,这些知识是以后学习分式、根式运算、函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要意义.从幂的运算到各种整式的乘法,加强了学生的自主探索能力,依据原有的知识基础或运用乘法的各种运算规律或借助直观而形象的图形面积,得到各种运算的基本法则,两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法,有利于学生形成合理的知识结构,提高数学思维能力.如第2题,利用整体思想分解因式,简化了运算过程,培养了学生对整体思想的应用能力;第3题,通过几何图形面积探究代数式的值,体现了核心素养中的几何直观.
答案
本题直接分解因式很困难,考虑添加辅助项使其符合完全平方公式特征,因此将原式添上x2与-x2两项,然后通过分组使其符合完全平方公式的结构特征,最后用平方差公式分解因式,从而将原多项式进行分解.名师点睛2.[利用整体思想分解因式]先阅读材料,再解答下列问题:材料:分解因式(x+y)2+2(x+y)+1.解:令x+y=A,则(x+y)2+2(x+y)+1=A2+2A+1=(A+1)2,故(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2.上述解题过程用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:(1)分解因式:1+2(x-y)+(x-y)2=
.
(2)分解因式:(a+b)(a+b-4)+4.(3)证明:若n为整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.答案2.【解析】
(1)(x-y+1)2(2)令a+b=A,则(a+b)(a+b-4)+4=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2,故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2.∵n为整数,∴n2+3n+1也为整数,∴式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.3.[类比探究问题]问题再现:数形结合思想是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来,并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学中的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个长方形和两个正方形,如图1,这个图形的面积可以表示为(a+b)2或a2+2ab+b2,∴(a+b)2=a2+2ab+b2,这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)问题提出:如何利用图形的几何意义证明13+23=32?如图2,A表示1个1×1的正方形,即1×1×1=13;B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此,B,C,D就可以表示2个2×2的正方形,即2×2×2=23;而A,B,C,D恰好可以拼成1个(1+2)×(1+2)的大正方形,由此可得13+23=(1+2)2=32.尝试解决:(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33=
.(要求写出结论,画出图形并
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