2022届高考文科数学考案简单不等式的解法

真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳§6.2简单不等式的解法

3其他不等式的解法对于简单的分式不等式,会转化成一元二次不等式的形式去求解.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2含参一元二次不等式会解决含参一元二次不等式的问题.1一元二次不等式的解法会从实际背景中抽象出一元二次不等式的模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解一元二次不等式等.会解决由一元二次不等式的解求参数的值或范围的问题．

不等式的解法是每年高考的必考内容,其命题的要点包括一元

二次不等式的解法、不等式的解法与其他数学知识的综合、含参

不等式的解法,通过近三年高考试题可以看出,解不等式主要涉及一

元二次不等式、分式不等式、指数和对数不等式等,以一元二次不

等式为主,其他不等式可化为一元二次不等式的形式求解,以不等式

恒成立问题为依托求参数的取值范围.从命题趋势来看以下三个问

题是高考的热点:(1)以集合为背景考查一元二次不等式的解法;(2)

对所含参数的讨论一并考查“三个二次”的转化;(3)与其他知识交考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选汇考查一元二次不等式的相关知识.

1.一元一次不等式一元一次不等式可整理为ax>b(a≠0).①当a>0时,不等式的解为x>

;②当a<0时,不等式的解为x<

;考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.一元二次不等式(1)解一元二次不等式的步骤:①把二次项的系数a变为正的.(若a<0,那么在不等式两边都乘以-1,

把系数变为正)②解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看Δ,然后

求根)③求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等式的方向,当

a>0且Δ>0时,定一元二次不等式的解集的口诀:“小于号取中间,大

于号取两边”.)考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选a>0,Δ=b2-4ac

二次函数y=ax2+bx+c的图象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个实根x=x1或x=x2有两个相等的

实根x=x1=x2=-

无实根(2)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选一元二次不等式的解集不等式ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R不等式ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}空集空集考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.简单的分式不等式的解法①对于解

<a或

≥a型不等式,应先移项、通分,将不等式整理成

>0(<0)或

≥0(≤0)的形式.②转化为整式不等式求解,但要注意分母不为零.

考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.(2011年浙江五校联考)已知集合M={x|y=

},N={x|y=log2(x-2x2)},则

R(M∩N)等于

(

)(A)(

,

).

(B)(-∞,

)∪[

,+∞).(C)[0,

].

(D)(-∞,0]∪[

,+∞).【解析】因为y=

,所以3x-1≥0,因此x≥

,即M={x|x≥

};考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【答案】B因为y=log2(x-2x2),所以x-2x2>0,因此0<x<

,即N={x|0<x<

};所以M∩N={x|

≤x<

},因此

R(M∩N)={x|x≥

或x<

}.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的a的取值范围为

.【解析】由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得a2-a-2<0⇒-1<a<2,所以所求a的范

围为(-1,2).【答案】(-1,2)考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.(2011年天津南开中学月考)若函数f(x)=

,则使f(x0)>

的x0的取值范围为

(

)(A)(-∞,1]∪(3,+∞).(B)(-∞,2]∪(4,+∞).(C)(-∞,2)∪(3,+∞).(D)(-∞,3)∪(4,+∞).【解析】当x∈(-∞,1]时,2-x>

即2-x>2-2,解得x<2,因此x≤1;考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选当x∈(1,+∞)时,log81x>

即log81x>log81(81

=log813,解得x>3,因此x>3.综上可得x>3或x≤1.【答案】A考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.(2011年陕西西安五大名校一模)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),

则{x|f(x-2)>0}等于

(

)(A){x|x<-2或x>4}.

(B){x|x<0或x>4}.(C){x|x<0或x>6}.

(D){x|x<-2或x>2}.【解析】根据f(x)=2x-4为偶函数得f(x)=2|x|-4,因此f(x-2)=2|x-2|-4,令2|x-2|-4>0得2|x-2|>22,因此|x-2|>2,解得x<0或x>4,因此不等式解集为{x|x

<0或x>4}.【答案】B考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例1

(1)关于x的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是

(

)(A)2.

(B)1.

(C)0.

(D)-1.题型1简单不等式的解法考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)已知函数f(x)=

那么不等式f(x)<0的解集为

.【分析】(1)任意两个解的差不超过9即不等式解的最大值与最小值

差值不超过9,因此解出不等式即可;(2)分段解出不等式,最后求并集.【解析】(1)方程x2-ax-20a2=0的两根是x1=-4a,x2=5a,则由关于x的不

等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,得|x1-x2|=|9a|≤9,即-1≤a≤

1,且a≠0.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)当x≤0时,由-|x+1|可得x≠-1;当x>0时,由x2-1<0得-1<x<1,所以0<x<

1,故不等式的解集为{x|x<-1或-1<x<1}.【答案】(1)C

(2){x|x<-1或-1<x<1}【点评】解不等式的核心问题是将不等式同解变形,由复杂向简单

转化,不等式的性质是同解变形的理论依据,方程的根、函数的图象

和性质都会给不等式的求解提供帮助,要注意将它们有机结合,互相

转化.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1

(1)不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f

(-x)的图象是

(

)考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)若不等式

+m<0的解集为{x|x<3或x>4},则m的值为

.【解析】(1)f(x)=ax2-x-c>0解集为{x|-2<x<1},即方程ax2-x-c=0的两根

为-2,1,∴

∴

∴f(x)=-x2-x+2,∴y=f(-x)=-x2+x+2.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)由

+m<0,得

<0,即当1+m>0时,解集在两根之内,显然不合题意;当1+m<0时有(x+m-1)(x+m)>0,其大根为1-m,小根为-m.所

以

,得m=-3.【答案】(1)C

(2)-3考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例2

(1)(2011年天津青光中学期中)已知函数y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定义域为R,则m的取值范围是

.题型2三个二次之间的转化(2)若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立,则实数x

的取值范围是

.【分析】(1)将函数定义域R为转化为不等式大于零恒成立,然后通

过转化为二次函数求解;考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)将m视为变量,转化为关于m的一次函数的单调性,构造不等式关

系,得出实数x的取值范围.【解析】(1)∵函数y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定义域为R,∴(m-2)x2

+2(m-2)x+4>0对x∈R成立.∴当m=2时,成立;当m≠2时,根据对数真数恒大于零,得(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集为

R.∴

即

考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选解得

∴m的取值范围为[2,6).(2)已知不等式可化为(x2-1)m+(1-2x)<0.设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),这是一个关于m的一次函数(或常数函数),从图

象上看,要使f(m)<0在-2≤m≤2时恒成立,其等价条件是:考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选

即

解得

所以,实数x的取值范围是(

,

).【答案】(1)[2,6)

(2)(

,

)考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【点评】(1)“三个二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元

二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,

同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中很

多试题与“三个二次”问题有关,而不等式的解法其核心内容也是

一元二次不等式的解法,因此“三个二次”及其关系的问题一直以

来是高考中的热点.(2)题是一个关于x的二次不等式,若将主元看

作m,则变为关于m的一次函数,从而使问题变为一次不等式.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)若命题“∃a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”为真命题,则实数x的取值

范围是

.【解析】(1)∵分母4x2+6x+3的Δ<0,∴4x2+6x+3>0对任意实数x恒成立.∴原不等式可化为2x2+2kx+k<4x2+6x+3,即2x2+(6-2k)x+3-k>0恒成立.∴

,即1<k<3.变式训练2

(1)若关于x的不等式

<1的解集是一切实数,则实数k的取值范围是

.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)令m(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,m(a)是关于a的一次函数,∵命题“∃a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”为真命题,∴m(1)>0或m(3)>0,即x2-x-2>0,①或3x2+x-2>0,②由①得x<-1或x>2;由②得x<-1或x>

.所以所求实数x的取值范围是x<-1或x>

.【答案】(1)1<k<3

(2)x<-1或x>

考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例3汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是

分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情

况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离

略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m,又知甲、乙两种车型的刹

车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=

0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?【分析】判断两车是否超速,可以通过刹车距离确定该车速度,因此,

根据速度与刹车距离的函数关系,确定两车速度范围即可.题型3不等式解法在实际问题中的应用考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0,解

得x>30或x<-40(不合实际意义,舍去),这表明甲车的车速超过30km

/h.但根据题意刹车距离略超过12m,由此估计甲车车速不会超过限

速40km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不

合实际意义,舍去),这表明乙车的车速超过40km/h,超过规定限速.【点评】本题通过函数与不等式的综合,考查了学生的数学应用能

力,在解题过程中要特别注意函数的定义域.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练3某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有

关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),

其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成

本=固定成本+生产成本);销售收入R(x)(万元)满足:R(x)=

,假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(1)要使工厂有赢利,产量x应控制在什么范围内?(2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?【解析】依题意,G(x)=x+2,设利润函数为f(x),则f(x)=

考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(1)要使工厂有赢利,即解不等式f(x)>0,当0≤x≤5时,解不等式-0.4x2+

3.2x-2.8>0,即x2-8x+7<0,得1<x<7,∴1<x≤5.当x>5时,解不等式8.2-x>0,得x<8.2,∴5<x<8.2.综上所述,要使工厂赢利,x应满足1<x<8.2,即产品产量应控制在大于

100台,小于820台的范围内.(2)0≤x≤5时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选故当x=4时,f(x)有最大值3.6.而当x>5时,f(x)<8.2-5=3.2,所以当工厂生产400台产品时,赢利最多.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选

1.解不等式的基础是一元一次不等式和一元二次不等式,解决其他

类型的不等式的关键就是要善于利用有关的性质或定理,通过等价

转换,变成一元一次、二次不等式(组).2.简单的分式不等式要通分之后转化为整式不等式,而不要盲目地去分母.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.(2011年广东卷)不等式2x2-x-1>0的解集是

(

)(A)(-

,1).

(B)(1,+∞).(C)(-∞,1)∪(2,+∞).

(D)(-∞,-

)∪(1,+∞).【答案】D【解析】2x2-x-1>0⇔(2x+1)(x-1)>0,解得x<-

或x>1,故选D.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.(2011年辽宁卷)设函数f(x)=

则满足f(x)≤2的x的取值范围是

(

)(A)[-1,2].

(B)[0,2].(C)[1,+∞).

(D)[0,+∞).【答案】D【解析】原不等式等价于

或

,解不等式组,可得0≤x≤1或x>1,即x≥0.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.(2011年江西卷)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为

(

)(A)(0,+∞).

(B)(-1,0)∪(2,+∞).(C)(2,+∞).

(D)(-1,0).【答案】C

【解析】因为f'(x)=2x-2-

=

,原函数的定义域为(0,+∞),所以由f'(x)>0可得x2-x-2>0,解得x>2,故选C.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例1(2011年江苏徐州高三第一次调研)已知实数a,b,c满足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,则b的取值范围是

.【解析】将c=9-a-b代入ab+ac+bc=24,并化简,构造关于a的一元二次

方程:a2+a(b-9)+b2-9b+24=0,该方程有解,则Δ=(b-9)2-4(b2-9b+24)≥0,

解得1≤b≤5.【答案】[1,5]考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题