浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2024年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2024年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.2．若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为（）A. B.2C. D.43．已知椭圆的中心为，一个焦点为，在上，若是正三角形，则的离心率为（）A. B.C. D.4．已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（）A. B.0C. D.5．已知长方体的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.C. D.6．已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.7．设等差数列的前n项和为．若，则（）A.19 B.21C.23 D.388．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图象可能为（）A. B.C. D.9．在等差数列中，，则等于A.2 B.18C.4 D.910．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（）A. B.C. D.11．一条直线过原点和点，则这条直线的倾斜角是（）A. B.C. D.12．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数则的值为.____14．若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.15．若“，”是真命题，则实数m的取值范围________.16．狄利克雷是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数”.若，根据“狄利克雷函数”可求___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，在处有极值.（1）求、的值；（2）若，有个不同实根，求的范围.18．（12分）已知正项数列的首项为，且满足，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和19．（12分）已知函数（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性20．（12分）已知圆C：的半径为1（1）求实数a的值；（2）判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长21．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为（1）求动点的轨迹方程；（2）已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？22．（10分）在△中，已知、、分别是三内角、、所对应的边长,且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且△的面积为，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.【题目详解】由，所以直线的斜率为，由，所以直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，故选：D2、A【解题分析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.【题目详解】解：成等比数列，∴根据等比数列的通项得：，，故选：A.3、D【解题分析】根据是正三角形可得的坐标，代入方程后可求离心率.【题目详解】不失一般性，可设椭圆的方程为：，为半焦距，为右焦点，因为且，故，故，，整理得到，故，故选：D.4、A【解题分析】利用导数运算法则求出，根据导数的定义即可得到结论【题目详解】由题设，，所以，函数在x＝π处瞬时变化率为，故选：A5、A【解题分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.【题目详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系∵底面是边长为8的正方形，，∴，，，因为,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴与对角面所成角的正弦值为故选：A.6、D【解题分析】由题意以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点，则必有，又当圆M经过原点时此时以AB为直径的圆M上与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足，从而得出答案.【题目详解】由题意，由得，双曲线的渐近线方程为所以，由，可知，，，在以AB为直径的圆M上，圆的半径为即以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点当圆M与渐近线相切时，圆心到渐近线的距离，则必有，即，则双曲线E的离心率，所以又当圆M经过原点时，，解得E的离心率为，此时以AB为直径圆M与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足条件.所以E的离心率的取值范围是.故选：D7、A【解题分析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d，再利用前n项和公式计算即可.【题目详解】设等差数列的公差为d，由已知，得，解得，所以.故选：A8、D【解题分析】根据函数的单调性得到导数的正负，从而得到函数的图象.【题目详解】由函数的图象可知，当时，单调递增，则，所以A选项和C选项错误；当时，先增，再减，然后再增，则先正，再负，然后再正，所以B选项错误.故选：D.【题目点拨】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.一般地，函数在某个区间可导，，则在这个区间是增函数；函数在某个区间可导，，则在这个区间是减函数.9、D【解题分析】利用等差数列性质得到，，计算得到答案.详解】等差数列中，故选D【题目点拨】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.10、A【解题分析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可.【题目详解】由是等比数列可得，是等差数列可得，所以，故选：A11、C【解题分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【题目详解】设这条件直线的倾斜角为，则，，因此，.故选：C.12、C【解题分析】利用函数的奇偶性求出，求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用点斜式即可求出结果【题目详解】函数的定义域为，若为奇函数，则则，即，所以，所以函数，可得；所以曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-1【解题分析】详解】试题分析：由题意，得，所以，解得，所以考点：导数的运算14、【解题分析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围.【题目详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为故答案为：15、【解题分析】由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，据此即可求出结果.【题目详解】由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，即.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了存在量词命题的概念的理解，以及数学转换思想，属于基础题.16、1【解题分析】由“狄利克雷函数”解析式，先求出，再根据指数函数的解析式求即可.【题目详解】由题设，，则.故答案：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解题分析】（1）根据题设条件可得，由此可解得与的值（2）依题意可知直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围介于极小值与极大值之间.【小问1详解】因为函数，在处有极值，所以，即，解得，.【小问2详解】由（1）知，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，，若有3个不同实根，则，所以的取值范围为.18、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）由递推关系式化简及等比数列的的定义证明即可；（2）根据裂项相消法求解即可得解.【小问1详解】证明：由得，而且，则，即数列为首项，公比为的等比数列【小问2详解】由上可知，所以，19、（1）极小值为，无极大值（2）答案见解析【解题分析】（1）求出导函数，由得增区间，得减区间，从而得极值；（2）求出导函数，分类讨论确定和解得单调性小问1详解】当时，，(x>0)则令，得，得，得，所以的单调递减区间为；单调递增区间为.所以的极小值为f(2)=，无极大值.【小问2详解】令则当时，在上单调递减.当时，，得，，得;，得在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递减.当时，在上单调递减，在上单调递增.20、（1）；（2）直线l与圆C相交，.【解题分析】（1）利用配方法进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.【小问1详解】将化为标准方程得：因为圆C的半径为1，所以，得【小问2详解】由（1）知圆C的圆心为，半径为1设圆心C到直线l的距离为d，则，所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即21、（1）（2）【解题分析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，再根据二次函数的性质可得最值.【小问1详解】由题设点到点的距离等于它到的距离，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所求轨迹的方程为；【小问2详解】由题意易知直线的斜率存在，设中点为，直线的方程为，联立直线与抛物线，得，，且，，又中点为，即，，故恒成立，，，所以，当时，取最大值为.【题目点拨】(1)直