2024学年陕西省西安市铁一中数学高二上期末统考试题含解析

2024学年陕西省西安市铁一中数学高二上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B.C. D.2．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值3．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）A. B.C.4 D.54．命题：，否定是（）A.， B.，C.， D.，5．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最小值为（）A. B.C. D.6．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A. B.C.8 D.127．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上一点，，直线与y轴交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.9．已知等差数列中的、是函数的两个不同的极值点，则的值为（）A. B.1C.2 D.310．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）A.圆上 B.双曲线上C.抛物线上 D.椭圆上11．已知对任意实数，有，且时，则时A. B.C. D.12．已知抛物线：，焦点为，若过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则长为A.3 B.4C.7 D.10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意恒成立，则________14．如图，按照以下规律排列的数阵中，第i行从左向右第j个数记为，如，，则______；令则______15．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________.16．在2021件产品中有10件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知二次函数.（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.（2）解关于的不等式（其中）.18．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.19．（12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率最大值.20．（12分）已知数列满足，，.（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（12分）设：实数满足，：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围22．（10分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为（1）求的方程；（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】利用正弦定理边化角，角化边计算即可.【题目详解】由正弦定理边化角得，，再由正弦定理角化边得，即故选：D.2、C【解题分析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.【题目详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为长方体的底面相邻两边分别为，，当且仅当时，等号成立，.故选:C.【题目点拨】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.3、C【解题分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.【题目详解】，所以在抛物线的内部，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.4、D【解题分析】根据给定条件利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出作答.【题目详解】命题：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：，的否定是：，.故选：D5、A【解题分析】首先解不等式得到或，根据题意得到，再解不等式组即可.【题目详解】，解得或，因为“”的必要不充分条件是“或”，所以.实数的最小值为.故选：A6、B【解题分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.【题目详解】由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为：，正三角形边上的一条高为：，所以一个正三角形的面积为：，所以多面体的表面积为：.故选：B7、C【解题分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率【题目详解】易知共线，共线，如图，设，，则，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因为，故解得，则，在中，，即，所以故选：C8、B【解题分析】由题意可设且，即得a、b的数量关系，进而求双曲线C的渐近线方程.【题目详解】由题设，，，又，P为双曲线C上一点，∴，又，为的中点，∴，即，∴双曲线C的渐近线方程为.故选：B.9、C【解题分析】对求导，由题设及根与系数关系可得，再根据等差中项的性质求，最后应用对数运算求值即可.【题目详解】由题设，，由、是的两个不同的极值点，所以，又是等差数列，所以，即，故.故选：C10、A【解题分析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.【题目详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，则，，因为为底面内的一动点，所以可设，因此，，因为平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圆，因此，动点的轨迹在圆上.故选：A.【题目点拨】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.11、B【解题分析】，所以是奇函数，关于原点对称，是偶函数，关于y轴对称，时则都是增函数，由对称性可知时递增，递减，所以考点：函数奇偶性单调性12、D【解题分析】利用抛物线的定义，把的长转化为点到准线的距离的和得解【题目详解】解：抛物线：，焦点为，过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则故选D【题目点拨】本题考查抛物线定义的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、66【解题分析】根据恒成立和严格递增可得，然后利用递推求出，的值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得，，然后可解.【题目详解】因为，且数列为严格递增数列，所以或，若，则（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因，，，且数列为严格递增数列，，所以，，所以，所以故答案为：6614、①.55②.【解题分析】令易知是首项为，公差为1的等差数列，写出通项公式，再应用累加法求及通项公式，结合求通项公式，进而可得，最后两次应用错位相减法求即可.【题目详解】由题设知：令，则是首项为，公差为1的等差数列，故，所以，即，由上可得：，则，而，所以，则，所以，，所以，令，则，所以，故，综上，，则.故答案为：，.【题目点拨】关键点点睛：通过图总结规律，易知是等差数列，应用累加法求，再由求通项公式，最后应用错位相减法求前n项和.15、##【解题分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果.【题目详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，可知点H为中点，由平面，可得，又所以平面，则即为所求角，因为，，所以，故答案为：.16、【解题分析】设抽到的次品的个数为，则，求出对应的概率即得解.【题目详解】解：设抽到的次品的个数为，则，所以所以抽到次品个数的数学期望的值是故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）答案见解析.【解题分析】（1）结合分离常数法、基本不等式求得的取值范围.（2）将原不等式转化为，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【题目详解】（1）不等式即为：，当时，可变形为：，即.又，当且仅当，即时，等号成立，，即.实数的取值范围是：.（2）不等式，即，等价于，即，①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，.②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为.18、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解题分析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.【题目详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，则，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【题目点拨】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题19、（1）；（2）最大值为.【解题分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【题目详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为设直线的斜率为k，则令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为[方法四]参数+基本不等式法由题可设因，所以于是，所以则直线的斜率为当且仅当，即，时等号成立，所以直线斜率的最大值为【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.20、（1）证明见解析，；（2）.【解题分析】（1）由已知条件，可得为常数，从而得证数列是等比数列，进而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用错位相减法即可求解数列的前项和.【小问1详解】证明：由题意，因为，，，所以，，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以；【小问2详解】解：由（1）可得，又，所以，所以，所以，所以，，所以，所以.21、（1）（2）【解题分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可【小问1详解】当时，，解得，即p为真时，实数x的取值范围为．由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为若为真，则，解得实数x的取值范围为【小问2详解】若p是q的必要不充分条件，则且设