河南省开封市仪封乡第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

河南省开封市仪封乡第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列的前项和为，若，则（

）A．9

B．15

C.18

D．36参考答案：C2.设等差数列{an}的公差为d，则a1d＞0是数列{}为递增数列的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义结合数列以及复合函数的单调性判断即可．【解答】解：∵数列{an}是公差为d的等差数列，若数列{}即数列{a1an}为递增数列，则a1an﹣a1an﹣1=a1（an﹣an﹣1）=a1d＞0，是必要条件；若a1d＞0，则数列{a1an}是递增数列即数列{}为递增数列，是充分条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查数列的性质以及复合函数的单调性问题，是一道基础题．3.已知全集U=R,集合，集合，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.数列的前项和为，若，则等于（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：B5.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B等于()A．[0,2)

B．(0,2]C．(－∞，0]∪(2，＋∞)

D．(－∞，0)∪[2，＋∞)参考答案：C略6.已知点满足若的最小值为3，则的值为高考资源网w。w-w*k&s%5￥uA．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C由各选项知a取正值，设，结合图形易得当直线过点时，取得最小值，故，选C.7.设为双曲线：（，）的右焦点，，若直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B8.已知复数满足，则复数A. B. C. D.参考答案：【答案解析】C

由得z==故选C。9.设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：A10.5名志原者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有

（A）150种 （B）180种

（C）200种 （D）280参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的函数，满足，（1）若，则

.（2）若，则

（用含的式子表示）.参考答案：（1）；（2）略12.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为

;参考答案：

13.已知向量和的夹角为，，则

参考答案：.714.在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足（m＞0，n＞0），则当取最小值时，向量=（，）的模为

．参考答案：考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模．解答： 解：∵，∴=m+n=m+4n，又∵P为BE上一点，不妨设（0＜λ＜1），∴=+λ=+λ（）=（1﹣λ）+λ，∴m+4n=（1﹣λ）+λ，∵，不共线，∴，所以m+4n=1﹣λ+λ=1∴=（）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当即m=2n时等号成立，又∵m+4n=1，∴m=，n=，∴||==，故答案为：．点评：本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m，n的关系和求+的最值．15.关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得，进而可得m的取值范围．【解答】解：若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，故，即，解得：m∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．16.已知，对于U，V，表示U，V中相对应的元素不同的个数。（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在，使得=2。则m=

；（2）令，若之和为

参考答案：10，17.已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是

.参考答案：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱锥的体积.参考答案：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解析：解法一：（Ⅰ）∵∴，又∵∴（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为∴在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小为（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形∴解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离∵，∴19.已知函数

（1）当a=-4时，求的最小值；

（2）若函数在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；

（3）当t≥1时，不等式恒成立，求实数a的取值范围，参考答案：略20.已知函数．(Ⅰ)若方程在上有解，求的取值范围；(Ⅱ)在中，分别是所对的边，当(Ⅰ)中的取最大值，且，时，求的最小值．参考答案：解：（1），在内有

（2），

或

，当且仅当时有最大值1。

，

有最小值1，此时

21.已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为。（I）求证：；（II）若，求的取值范围。参考答案：（Ⅰ）证明略(I)根据向量垂直的条件可证即可.(II)不等式然后再把给的数据代入即可得到关于k的不等式求出k的取值范22.记函数的导函数为，已知．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数n使得函数gn（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若实数x0和m（m＞0，且m≠1）满足：，试比较x0与m的大小，并加以证明．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）直接由列式求a的值；（Ⅱ）求出函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数的符号判断原函数的单调性，求出原函数的最值，根据最值分析函数的零点个数；（Ⅲ）求出，代入，解出x0，把x0与m作差后构造辅助函数，求出辅助函数的导函数，由辅助函数的单调性即可证明x0与m的差与0的大小关系，则结论得到证明．【解答】解：（Ⅰ），由，得a=1；（Ⅱ），，∵x＞0，令，得．当x＞时，，gn（x）是增函数；当0＜x＜时，，gn（x）是减函数；所以当时，gn（x）有极小值，也是最小值，．当x→0时，gn（x）→+∞；当x→+∞时，（可取x=e，e2，e3，…体验），gn（x）→+∞．当n≥3时，，函数gn（x）有两个零点；当n=2时，，函数gn（x）有两个零点；当n=1时，，函数gn（x）只有一个零点；综上所述，存在n=1使得函数gn（x）有且只有一个零点．（Ⅲ），∵，∴．解得，则，当m＞1时，（n+1）（mn﹣1）＞0，设h（x）=﹣xn+1+x（n+1）﹣n（x≥1），则h′（x）=﹣（n+1）xn+n+1=﹣（n+1）（xn﹣1）≤0（当且仅当x=1时取等号），所以h（x）在[1，+∞）上是减函数，又因为m＞1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0﹣m＜0，所以x0＜m．当0＜m＜1时，（n+1）（mn﹣1）＜0，设h（x）=﹣xn+1+x（n