2021年北京中关村中学分校高一数学文联考试题含解析

2021年北京中关村中学分校高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的前项和为,且则等于

（）A．4 B．2 C．1 D．参考答案：A略2.已知函数，则下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）参考答案：C【知识点】诱导公式【试题解析】对A：故A错；

对B：故B错；C对；

对D：故D错。

故答案为：C3.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3

B．

x≤3

C．x＞3

D．x≥3参考答案：D4.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年5月10日将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D略5.（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（） A． y=x2 B． y=x﹣1 C． y=x D． y=x3参考答案：D考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据奇函数、偶函数的定义，奇偶函数定义域的特点，反比例函数在其定义域上的单调性，以及单调性的定义即可找出正确选项．解答： 解：y=x2是偶函数；反比例函数y=x﹣1在其定义域上没有单调性；的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；y=x3是奇函数，根据单调性的定义知该函数在其定义域上是增函数；∴D正确．故选D．点评： 考查奇函数、偶函数的定义，奇偶函数定义域的特点，函数单调性的定义，以及反比例函数在其定义域上的单调性．6.已知函数是奇函数，当时，，则当时，＝A．

B．C．

D．参考答案：A7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，B1B=BC=1，则面BD1C与面AD1D所成二面角的大小为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.若函数的定义域是

,则函数的定义域是（

）A．[-1,1]

B.[-1,1）

C.

D.(-1,1)参考答案：C9.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知正方形ABCD，AB＝2，AC、BD交点为O，在ABCD内随机取一点E，则点E满足OE＜1的概率为(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若为一个平方数，则正整数

.参考答案：10.解析：，设有，于是有故12.过点且到点距离相等的直线的一般式方程是_____________.参考答案：考虑两种情形，当直线斜率不存在时，直线方程为符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式，得，综上诉述，所求直线方程为.

13.已知点.若直线与线段相交，则的取值范围是___________参考答案：]略14.如图1是某高三学生进入高中﹣二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次．考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是

．参考答案：10【考点】程序框图．【分析】该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个．故答案为：10．15.已知函数f（x）=ex+2x﹣a，a∈R，若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣1+e﹣1，1+e]【考点】54：根的存在性及根的个数判断；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析可得：y=sinx上存在点（x0，y0），可得y0=sinx0∈[﹣1，1]．函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0．令函数f（x）=ex+2x﹣a=x，化为a=ex+x．令g（x）=ex+x（x∈[﹣1，1]）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），∴y0=sinx0∈[﹣1，1]．函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．综上可得：f（y0）=y0．令函数f（x）=ex+2x﹣a=x，化为a=ex+x．令g（x）=ex+x（x∈[﹣1，1]）．g′（x）=ex+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是[﹣1+e﹣1，e+1]；故答案为：[﹣1+e﹣1，e+1]．16.是定义在上的偶函数,对任意的,有关系,又当时,有,则=_____________.参考答案：17.在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则=

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且AB，求a的值．参考答案：因为AB，所以a2－3a＋4＝8或a2－3a＋4＝a.由a2－3a＋4＝8，得a＝4或a＝－1；由a2－3a＋4＝a，得a＝2.经检验：当a＝2时集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为－1、4.19.在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面积。参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）整理得：，再由余弦定理可得，问题得解。（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解。【详解】（1）由题意，得，∴；（2）由正弦定理，得，,∴.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题。20.（理科生做）解关于的不等式．参考答案：21.（本小题满分12分）如图，三棱柱的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点。（I）求证：B1C//平面AC1M；（II）求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B．

参考答案：证明：（I）由三视图可知三棱柱为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且，连结A1C，设。连结MO，由题意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以MO//B1C． 又平面;平面，所以平面

……………6分（II），又为的中点，平面，平面

又平面

所以平面AC1M⊥平面AA1B1B

……………12分22.（本小题满分1