牛栏山一中2024学年高二上数学期末考试试题含解析

牛栏山一中2024学年高二上数学期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平行六面体中，点P在上，若，则（）A. B.C. D.2．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为4的菱形，且，E为AD的中点，，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（）A. B.C. D.3．已知数列满足，则满足的的最大取值为（）A.6 B.7C.8 D.94．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是（）A. B.C. D.5．等差数列中，，则（）A. B.C. D.6．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7．如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个8．若：，：，则为q的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件9．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）A B.C. D.10．变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.11．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（）①②③A.0 B.1C.2 D.312．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A. B.7C.6 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，，且，则_______.14．已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围为___________.15．设数列满足，则an＝________16．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，是的一个极值点.（1）求b的值；（2）当时，求函数的最大值.18．（12分）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.19．（12分）已知圆，直线（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）过点作圆C的切线，求切线的方程20．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.21．（12分）已知直线l过定点（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程22．（10分）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【题目详解】因为，，所以有，因此，故选：C2、B【解题分析】根据异面直线的定义找出角即为所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【题目详解】分别取BC，PB的中点F，G，连接DF，FG，DG，如图，因为E为AD的中点，四边形ABCD是菱形，所以，所以（其补角）是异面直线PC与BE所成的角因为底面ABCD是边长为4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为，故选：B3、B【解题分析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.【题目详解】因为，两边取倒数，得，整理为：，，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，，，因为，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故选：B4、C【解题分析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.【题目详解】，故选：C.5、C【解题分析】由等差数列的前项和公式和性质进行求解.【题目详解】由题意，得.故选：C.6、C【解题分析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【题目详解】由题意有，，则，解得：故选：C.7、B【解题分析】构造出长方体，取中点连接然后利用临界位置分情况讨论即可.【题目详解】如图，构造出长方体，取中点，连接则所有过点与成角的平面，均与以为轴的圆锥相切，过点绕且与成角，当与水平面垂直且在面的左侧（在长方体的外面）时，与面所成角为75°（与面成45°，与成30°），过点绕旋转，转一周，90°显然最大，到了另一个边界（在面与之间）为15度，即与面所成角从75°→90°→15°→90°→75°变化，此过程中，有两次角为30

，综上，这样的平面α有2个，故选：B.8、D【解题分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【题目详解】解：因为：，：，所以，所以为q的既不充分又不必要条件.故选：D.9、D【解题分析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【题目详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D10、C【解题分析】本题先求样本点中心，再利用线性回归方程过样本点中心直接求解即可.【题目详解】解：，，所以样本点中心：，线性回归方程过样本点中心，则解得：，故选：C【题目点拨】本题考查线性回归方程过样本点中心，是简单题.11、C【解题分析】根据等差数列的定义判断【题目详解】设的公差为，则，是等差数列，，是常数列，也是等差数列，若，则不是等差数列，故选：C12、A【解题分析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解题分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可【题目详解】根据题意可得：，，，故数列为周期数列可得：故答案为：14、【解题分析】由题意画出函数图象，把函数有3个不同的零点的问题转化为函数与函数有3个交点的问题，分为和时分类讨论即可.【题目详解】作出函数的图象如下图所示，要使函数有3个不同的零点，则函数和函数有三个交点，由已知得函数恒过点,当时，过点时，函数和函数有三个交点，将代入得，即，当时，与相切时，此时函数和函数有两个交点，如图所示，，设此时的切点为，则直线的斜率为，直线的方程为，将点代入得，解得，此时的斜率为，将逆时针旋转至和平行时，即为的位置时，函数和函数有三个交点，此时，故的范围为，综上所述实数k的取值范围为.故答案为：.15、【解题分析】先由题意得时，，再作差得，验证时也满足【题目详解】①当时，；当时，②①②得，当也成立.即故答案为：16、【解题分析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案【题目详解】由已知得，故，∵的面积为，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范围为.故答案为点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】（1）先求出导函数，再根据x=2是的一个极值点对应x=2是导数为0的根即可求b的值；（2）根据（1）的结论求出函数的极值点，通过比较极值与端点值的大小从而确定出最大值.【小问1详解】由题设，.∵x=2是的一个极值点，∴x=2是的一个根，代入解得：.经检验，满足题意.【小问2详解】由（1）知：，则.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+递减递增∵当x∈(1,2)时，即在(1,2)上单调递减；当x∈(2,3)时，即在(2,3)上单调递增.∴当x∈[1,3]时，函数的最大值为与中的较大者.∴函数的最大值为.18、【解题分析】设圆心坐标为，根据两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值．从而求出圆的圆心和半径，可得圆的方程【题目详解】解：∵圆心在直线，∴设圆心坐标为，根据点和在圆上，可得解之得.∴圆心坐标为，半径.因此，此圆的标准方程是19、（1）相交.（2）或.【解题分析】（1）先判断出直线恒过定点(2，1)，由(2，1)在圆内，即可判断；（2）分斜率存在与不存在两种情况，利用几何法求解.【小问1详解】直线方程，即，则直线恒过定点(2，1).因为，则点(2，1)位于圆的内部，故直线与圆相交.【小问2详解】直线斜率不存在时，直线满足题意；②直线斜率存在的时候，设直线方程为，即.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得:，则直线方程为：.综上可得，直线方程或.20、（1）略；（2）【解题分析】（1）推导出BD⊥BC，PB⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明PD⊥BC．（2）利用等体积求得点B到面的距离【题目详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB，△PDC为等边三角形∴BC＝BD，∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴PD⊥BC（2）由（1）知，，故故得点B到面PCD的距离为【题目点拨】本题考查线线垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21、（1）（2）或【解题分析】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.(2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答.【小问1详解】直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，所以直线l的方程是：.【小问2详解】因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，所以直线l的方程为：或.22、（1），（2）答案见解析【解题分析】（1