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文档简介

成都市重点中学2024学年高二上数学期末联考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设等差数列的公差为d,且,则()A.12 B.4C.6 D.82.已知数列通项公式,则()A.6 B.13C.21 D.313.若等比数列满足,,则数列的公比为()A. B.C. D.4.已知,分别为双曲线:的左,右焦点,以为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点,直线与双曲线的右支交于点,点恰好为线段的三等分点(靠近点),则双曲线的离心率等于()A. B.C. D.5.在平面直角坐标系中,抛物线上点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为()A. B.C.1 D.6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10,前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列,其前7项分别为2,3,5,8,12,17,23则该数列的第100项为()A.4862 B.4962C.4852 D.49527.直线与直线平行,则两直线间的距离为()A. B.C. D.8.抛物线的准线方程是()A. B.C. D.9.函数的最小值是()A.2 B.4C.5 D.610.设函数,则()A.1 B.5C. D.011.在等差数列中,其前项和为.若,是方程的两个根,那么的值为()A.44 B.C.66 D.12.复数,则对应的点所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列的前项和为,且,,则__________.14.某企业有4个分厂,新培训了一批6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为________.15.将车行的30辆大巴车编号为01,02,…,30,采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本,且在某组随机抽得的一个号码为08,则剩下的两个号码依次是__________(按号码从小到大排列)16.如图,按照以下规律排列的数阵中,第i行从左向右第j个数记为,如,,则______;令则______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,点在抛物线上(1)求的值;(2)若直线l与抛物线C交于,两点,,且,求的最小值18.(12分)2021年国庆期间,某电器商场为了促销,给出了两种优惠方案,顾客只能选择其中的一种,方案一:每消费满8千元,可减8百元.方案二:消费金额超过8千元(含8千元),可抽取小球三次,其规则是依次从装有2个红色小球、2个黄色小球的一号箱子,装有2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子,装有1个红色小球、3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球(这些小球除颜色外完全相同),其优惠情况为:若抽出3个红色小球则打6折;若抽出2个红色小球则打7折;若抽出1个红色小球则打8折;若没有抽出红色小球则不打折.(1)若有两名顾客恰好消费8千元,他们都选中第二方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;(2)若你朋友在该商场消费了1万元,请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.19.(12分)著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的,是人类理性思维的产物,其操作过程如下:将闭区间均分为三段,去掉中间的区间段记为第一次操作;再将剩下的两个闭区间,分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为.(1)求第二次操作后的“康托尔三分集”;(2)定义的区间长度为,记第n次操作后剩余的各区间长度和为,求;(3)记n次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为,若使不大于原来的,求n的最小值.(参考数据:,)20.(12分)已知公差不为0的等差数列,前项和为,首项为,且成等比数列.(1)求和;(2)设,记,求.21.(12分)已知p:关于x的方程至多有一个实数解,.(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.22.(10分)如图,在正四棱柱中,,,点在棱上,且平面(1)求的值;(2)若,求二面角的余弦值

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.【题目详解】,所以.故选:B2、C【解题分析】令即得解.【题目详解】解:令得.故选:C3、D【解题分析】设等比数列的公比为,然后由已知条件列方程组求解即可【题目详解】设等比数列的公比为,因为,,所以,所以,解得,故选:D4、C【解题分析】设,,根据双曲线的定义可得,,在中由勾股定理列方程可得,在中由勾股定理可得关于,的方程,再由离心率公式即可求解.【题目详解】设,则,由双曲线的定义可得:,,因为点在以为直径的圆上,所以,所以,即,解得:,在中,,,,由可得,即,所以双曲线离心率为,故选:C.第II卷(非选择题5、D【解题分析】根据给定条件求出抛物线C的焦点、准线,再利用抛物线的定义求出a值计算作答.【题目详解】抛物线的焦点,准线,依题意,由抛物线定义得,解得,所以抛物线焦点到准线的距离为.故选:D6、D【解题分析】根据题意可得数列2,3,5,8,12,17,23,,满足:,,从而利用累加法即可求出,进一步即可得到的值【题目详解】2,3,5,8,12,17,23,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以,所以.所以.故选:D7、B【解题分析】先根据直线平行求得,再根据公式可求平行线之间的距离.【题目详解】由两直线平行,得,故,当时,,,此时,故两直线平行时又之间的距离为,故选:B.8、D【解题分析】将抛物线的方程化为标准方程,可得出该抛物线的准线方程.【题目详解】抛物线的标准方程为,则,可得,因此,该抛物线的准线方程为.故选:D.9、C【解题分析】结合基本不等式求得所求的最小值.【题目详解】,,当且仅当时等号成立.故选:C10、B【解题分析】由题意结合导数的运算可得,再由导数的概念即可得解.【题目详解】由题意,所以,所以原式等于.故选:B.11、D【解题分析】由,是方程的两个根,利用韦达定理可知与的和,根据等差数列的性质可得与的和等于,即可求出的值,然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍,把的值代入即可求出的值.【题目详解】因为,是方程的两个根,所以,而,所以,则,故选:.12、C【解题分析】化简复数,根据复数的几何意义,即可求解.【题目详解】由题意,复数,所以复数对应的点为位于第三象限.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】根据,利用等差数列前项和公式,列方程求出,再由,能求出【题目详解】等差数列的前项和为,且,,,解得,,,解得,故答案为:1014、1560【解题分析】先把6名技术人员分成4组,每组至少一人,有两种情况:(1)4个组的人数按3,1,1,1分配,(2)4个组的人数为2,2,1,1,求出所有的分组方法,然后再把4个组的人分给4个分厂,从而可求得答案【题目详解】先把6名技术人员分成4组,每组至少一人.(1)若4个组的人数按3,1,1,1分配,则不同的分配方案有(种).(2)若4个组的人数为2,2,1,1,则不同的分配方案有(种).故所有分组方法共有20+45=65(种).再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有(种).故答案为:156015、18,28【解题分析】根据等距抽样的性质确定剩下的两个号码即可.【题目详解】由于从30辆大巴车中抽取3辆车,故分组间距为10,又第一组的号码为08,所以其它两个号码依次是18,28故答案为:18,28.16、①.55②.【解题分析】令易知是首项为,公差为1的等差数列,写出通项公式,再应用累加法求及通项公式,结合求通项公式,进而可得,最后两次应用错位相减法求即可.【题目详解】由题设知:令,则是首项为,公差为1的等差数列,故,所以,即,由上可得:,则,而,所以,则,所以,,所以,令,则,所以,故,综上,,则.故答案为:,.【题目点拨】关键点点睛:通过图总结规律,易知是等差数列,应用累加法求,再由求通项公式,最后应用错位相减法求前n项和.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1(2)【解题分析】(1)将点代入即可求解;(2)利用向量数量积为3求出,再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.【小问1详解】将代入抛物线,解得:.【小问2详解】,在抛物线C上,故,,解得:或2,因为,所以,即,故,当且仅当,即时等号成立,故的最小值为.18、(1)(2)选择方案二更划算【解题分析】(1)要使方案二比方案一优惠,则需要抽出至少一个红球,求出没有抽出红色小球的概率,再根据对立事件的概率公式即可得出答案;(2)若选择方案一,则需付款(元),若选择方案二,设付款金额为元,则可取6000,7000,8000,10000,求出对应概率,从而可求得的期望,在比较的期望与9200的大小即可得出结论.【小问1详解】解:根据题意得要使方案二比方案一优惠,则需要抽出至少一个红球,设没有抽出红色小球为事件,则,所以所求概率;【小问2详解】解:若选择方案一,则需付款(元),若选择方案二,设付款金额为元,则可取6000,7000,8000,10000,,,,,故的分布列为X60007000800010000P所以(元),因为,所以选择方案二更划算.19、(1)(2)(3)【解题分析】(1)根据“康托尔三分集”的定义,即可求得第二次操作后的“康托尔三分集”;(2)根据“康托尔三分集”的定义,分别求得前几次的剩余区间长度的和,求得其通项公式,即可求解;(3)由(2)可得第次操作剩余区间的长度和为,结合题意,得到,利用对数的运算公式,即可求解.【小问1详解】解:根据“康托尔三分集”的定义可得:第一次操作后的“康托尔三分集”为,第二次操作后的“康托尔三分集”为;【小问2详解】解:将定义的区间长度为,根据“康托尔三分集”的定义可得:每次去掉的区间长后组成的数为以为首项,为公比的等比数列,第1次操作去掉的区间长为,剩余区间的长度和为,第2次操作去掉两个区间长为的区间,剩余区间的长度和为,第3次操作去掉四个区间长为的区间,剩余区间的长度和为,第4次操作去掉个区间长为,剩余区间的长度和为,第次操作去掉个区间长为,剩余区间的长度和为,所以第次操作后剩余的各区间长度和为;【小问3详解】解:设定义区间,则区间长度为1,由(2)可得第次操作剩余区间的长度和为,要使得“康托三分集”的各区间的长度之和不大于,则满足,即,即,因为为整数,所以的最小值为.20、(1)(2)【解题分析】(1)由题意解得等差数列的公差,代入公式即可求得和;(2)把n分为奇数和偶数两类,分别去数列的前n项和.【小问1详解】设等差数列公差为,由题有,即,解之得或0,又,所以,所以.【小问2详解】,当为正奇数,,当为正偶数,,所以21、(1)(2)【解题分析】(1)根据命题p为真命题,可得,解之即可得解;(2)若p是q的充分不必要条件,则,列出不等式组,解之即可得出答案.【小问1详解】解:命题p:关于x的方程至多有一个实数解,∴,解得,∴实数a的取值范围是;【小问2详解】解:命题,∵p是q的充分不必要条件,∴,∴,且两式等号不能同时取得

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