青海省西宁第二十一中学2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

青海省西宁第二十一中学2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.982．等比数列中，，则（）A. B.C.2 D.43．已知F1、F2是双曲线E：(a>0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．在等差数列中，，，则的值是（）A.130 B.260C.156 D.1685．已知为等差数列，为其前n项和，，则下列和与公差无关的是（）A. B.C. D.6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个C.个 D.个7．设为等差数列的前项和，若，则的值为（）A.14 B.28C.36 D.488．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A B.4C.3 D.29．下列命题中正确的是A.命题“若，则”的否命题为：“若，则”B.若命题，是假命题，则实数C.“”的一个充分不必要条件是“”D.命题“若，则”的逆否命题为真命题10．已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A.4 B.2C.1 D.11．“”是“方程为双曲线方程”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．命题；命题．则A.“或”为假 B.“且”为真C.真假 D.假真二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.14．已知椭圆的左、右焦点为，过作x轴垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________.15．抛物线的准线方程是___________.16．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在正方体中，、、分别是、、的中点（1）证明：平面平面；（2）证明：18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求点B到平面PCD的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值.19．（12分）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.20．（12分）（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m、400m、800m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m、400m、800m三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m、400m、800m三项冠军，共有多少种可能的结果？21．（12分）设数列是公比为正整数的等比数列，满足，，设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（3）已知数列，设，求数列的前项和.22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】依据独立事件同时发生的概率即可求得甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率.【题目详解】记甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中两种情况，则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为故选：A2、D【解题分析】利用等比数列的下标特点，即可得到结果.【题目详解】∵，∴，∴，∴.故选：D3、D【解题分析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，求出离心率.【题目详解】因为M为PQ的中点，且，所以△为等腰三角形，即，因为，设，则，由双曲线定义可知：，所以，则，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故选：D4、A【解题分析】由等差数列的性质计算得到，进而利用求和公式，变形求出答案.【题目详解】由题意得：，故故选：A5、C【解题分析】依题意根据等差数列的通项公式可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；【题目详解】解：因为，所以，即，所以，，，，故选：C6、A【解题分析】利用极小值的定义判断可得出结论.【题目详解】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值点有个，故选：A.7、D【解题分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.【题目详解】因为为等差数列的前项和，所以故选：D【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.8、C【解题分析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【题目详解】由为纯虚数，∴，解得：，则，故选：C9、C【解题分析】．命题的否定是同时否定条件和结论；．将当成真命题解出的范围，再取补集即可；．求出“”的充要条件再判断即可；．判断原命题的真假即可【题目详解】解：对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则“，故A错误；对于B：当命题，是真命题时，，所以，又因为命题为假命题，所以，故B错误；对于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D：因为命题“若，则”是假命题，所以其逆否命题也是假命题，故D错误；故选：C10、D【解题分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出【题目详解】设等比数列的公比为（），由题意得，且，即，，因为，所以，，故选：D11、C【解题分析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”原则进行判断即可.【题目详解】因为方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.12、D【解题分析】命题：可能为0，不为0，假命题，命题：，为真命题，所以“或”为真命题，“且”为假命题．选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据动圆同时与圆及圆外切，即可得到几何关系，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.【题目详解】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,当动圆与圆，圆外切时,,,所以,因为圆心,，即，又根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，所以,则动圆圆心的轨迹方程是；故答案为：14、##【解题分析】以为等腰直角三角形列方程组可得之间的关系式，进而求得椭圆的离心率.【题目详解】椭圆的左、右焦点为，点P由为等腰直角三角形可知，，即可化为，故或（舍）故答案为：15、【解题分析】先根据抛物线方程求出，进而求出准线方程.【题目详解】抛物线为，则，解得：，准线方程为：.故答案为：16、【解题分析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.【题目详解】依题意在区间上恒成立，在上恒成立，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】（1）连接，分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立.【小问1详解】证明：连接，在正方体中，，，所以，四边形为平行四边形，所以，在中，、分别为、的中点，所以，，所以，，因为平面，平面，所以，平面因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则，，平面，平面，平面又，所以，平面平面【小问2详解】证明：在正方体中，平面，平面，,因为四边形为正方形，则，因为，则平面由知（1）平面平面，所以，平面，平面，因此，18、（1）（2）【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.【小问1详解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又两两互相垂直,所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，D(3,6,0),A(0,6,0)设平面的一个法向量所以n⋅PD令，可得记点到平面的距离为，则d=【小问2详解】由(1)可知平面的一个法向量为平面的一个法向量为设二面角的平面角为由图可知，19、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解题分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程20、（1）81种；（2）24种；（3）64种【解题分析】（1）利用分步计数原理可求报名方法总数.（2）利用分步计数原理可求报名方法总数.（3）利用分步计数原理可求报名方法总数.【题目详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有（种）报名方法（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此100m项目有4种选法，400m项目有3种选法，800m项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有（种）（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有（种）可能的结果21、（1）（2）证明见解析，（3）【解题分析】（1）根据等比数列列出方程组求解首项、公比即可得解；（2）化简后得，可证明数列是等差数列，即可得出，