上海市东延安中学高一数学理测试题含解析

上海市东延安中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当x1≠x2时，有f（），则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是(

)A．y=x B．y=|x| C．y=x2 D．y=log2x参考答案：C【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．【专题】计算题；新定义．【分析】先求出f（）的解析式以及的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断f（）和的大小关系，再根据“严格下凸函数”的定义域，得出结论．【解答】解：A、对于函数y=f（x）=x，当x1≠x2时，有f（）=，=，f（）=，故不是严格下凸函数．B、对于函数y=f（x）=|x|，当x1≠x2＞0时，f（）=||=，==，f（）=，故不是严格下凸函数．C、对于函数y=f（x）=x2，当x1≠x2时，有f（）==，=，显然满足f（），故是严格下凸函数．D、对于函数y=f（x）=log2x，f（）=，==，f（）＞，故不是严格下凸函数．故选C．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，“严格下凸函数”的定义，属于中档题．2.2．已知向量且，则等于

A．

B.－

C.

D.－参考答案：A略3.设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（

）①存在一个实数λ，使=λ或=λ；

②|·|=||||；③；

④(+)//(－)A、1个

B、2个

C、3个

D、4个参考答案：C4.cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于（）A．0 B． C． D．﹣参考答案：B【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式得出cos24°=cos（90°﹣66°）=sin66°，cos54°=cos（90°﹣36°）=sin36°，然后利用两角和与差的余弦函数公式得出结果．【解答】解：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=sin66°cos36°﹣cos66°sin36°=sin（66°﹣36°）=sin30°=故选B．5.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．6.在空间中，下列命题正确的是（）A．平行于同一平面的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一直线的两条直线平行D．垂直于同一平面的两条直线平行参考答案：D【考点】平面的基本性质及推论．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，不正确；对于B，平行于同一直线的两个平面平行或相交，不正确；对于C，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，不正确；对于D，垂直于同一平面的两条直线平行，正确．故选D．7.若2，a,b,c,9成等差数列，则c-a的值为

（

）A.2.5

B.3.5

C.1.5

D.3参考答案：B8.若函数是函数的反函数，则的值是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.－1120°角所在象限是

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D10.等差数列{an}中,已知a1=－12,S13=0,使得an>0的最小正整数n为()A.9 B.8 C.7 D.10参考答案：B由S13==0得a1+a13=2a7=0,所以a7=0,又a1=-12,故n≥8时,an>0.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3?a11=16，则a5=_________．参考答案：1略12.若，则_______________。参考答案：略13.已知全集，则_______________.参考答案：略14.若函数是奇函数且，则

．参考答案：15.若4x=9y=6，则=

．参考答案：2【考点】对数的概念．【分析】4x=9y=6，可得x=，y=．代入利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵4x=9y=6，∴x=，y=．则===2．故答案为：2．16.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

． 参考答案：（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由与的夹角为锐角，则＞0，根据向量，我们要以构造一个关于λ的不等式，解不等式即可得到λ的取值范围，但要特别注意＞0还包括与同向（与的夹角为0）的情况，讨论后要去掉使与同向（与的夹角为0）的λ的取值． 【解答】解：∵与的夹角为锐角 ∴＞0 即2﹣2λ＞0 解得λ＜1 当λ=﹣4时，与同向 ∴实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1） 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1） 【点评】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，由两个向量夹角为锐角，两个向量数量积大于0，我们可以寻求解答的思路，但本题才忽略＞0还包括与同向（与的夹角为0）的情况，导致实数λ的取值范围扩大． 17.已知为的三个内角的对边，向量，若且，则角

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物。食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同。假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192h,放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42h.（1）写出保鲜时间（单位：h）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）参考答案：（1）设，则有…2分……………5分………………6分（2）依题意有…………………7分……………10分……………………11分答：若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为14℃.…12分19.如图，已知底角为的等腰梯形ABCD，底边BC长为5,腰长为,当一条垂直于底边BC（垂足为F，与B、C都不重合）的直线从左向右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令BF=x．（1）试写出左边部分的面积y与x的函数解析式；（2）当时,求面积y的取值范围．

参考答案：解：依题意得（1）------7分（2）易知：函数y在区间[3，4）随着自变量x的增大而增大，故当x=3时函数取得最小值4，当x=4时，函数取得最大值，所以当时,面积y的取值范围为[4，]--------（10分）20.（14分）（2007?番禺区模拟）（1）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（0，3），C（2，4），边AC的中点为D，求AC边上中线BD所在的直线方程并化为一般式；（2）已知圆C的圆心是直线2x+y+1=0和x+3y﹣4=0的交点且与直线3x+4y+17=0相切，求圆C的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；两条直线的交点坐标；圆的标准方程．

【专题】综合题．【分析】（1）先求AC边的中点D的坐标，再由直线两点式，得中线BD所在的直线方程；（2）先解方程组求得圆心的坐标，再利用点到直线的距离，求得圆的半径，即得圆的方程．【解答】解：（1）∵A（4，1），C（2，4），∴AC边的中点D的坐标为（3，），又B（0，3），（2分）由直线两点式，得中线BD所在的直线方程为（4分）即x+6y﹣18=0（6分）（2）解方程组得（3分）由点（）到直线3x+4y+17=0距离得=4∴圆的半径为4（6分）∴圆C的方程为：（7分）【点评】本题考查的重点是直线与圆的方程，解题的关键是正确运用直线的两点式方程，利用点到直线的距离求半径．21.(本小题满分12分)在△ABC中，中线长AM＝2.(1)若；(2)若P为中线AM上的一个动点，求的最小值．参考答案：(1)证明：∵M是BC的中点，＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2，....................................2分当x＝1时，取最小值－2..............................................1分22.设函数（且）是定义域为R的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若,判断函数f(x)的单调性，并简要说明理由；（3）在（2）的条件下，若对任意的，存