2024学年湖南省益阳市桃江第一中学数学高二上期末达标检测试题含解析

2024学年湖南省益阳市桃江第一中学数学高二上期末达标检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）A. B.2C.3 D.12．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（）A.6 B.36C.10 D.3．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（）A.4 B.5C.6 D.74．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）A.3 B.4C.5 D.65．下列说法错误的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021C.“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件D.已知，且，则的最小值为96．若直线与直线平行，则（）A. B.C. D.7．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（）A.-5 B.-3C.1 D.78．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.9．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则的值为（）A.1225 B.1275C.1326 D.136210．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）A.1 B.4C.1或3 D.1或411．若圆与直线相切，则实数的值为（）A. B.或3C. D.或12．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）A.100 B.C.300 D.400二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的公差，等比数列的公比q为正整数，若，，且是正整数，则______14．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.16．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则_________.若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按年龄将这120名群众分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求图中m的值；（2）估算这120名群众的年龄的中位数（结果精确到0.1）；（3）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值20．（12分）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.（1）证明：；（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.21．（12分）已知圆C1圆心为坐标原点，且与直线相切（1）求圆C1的标准方程；（2）若直线l过点M（1，2），直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程22．（10分）设点是抛物线上异于原点O的一点，过点P作斜率为、的两条直线分别交于、两点（P、A、B三点互不相同）（1）已知点，求的最小值；（2）若，直线AB的斜率是，求的值；（3）若，当时，B点的纵坐标的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】直接利用平均变化率的公式求解.【题目详解】解：由题得.故选：B2、B【解题分析】由公切线条数得两圆外切，由此可得的关系，从而点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，由求得的最小值，平方后即得结论【题目详解】圆标准方程为，，半径为，圆标准方程为，，半径为，两圆有三条公切线，则两圆外切，所以，即，点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，，所以，所以的最小值为故选：B3、C【解题分析】利用赋值法确定展开式中各项系数的和以及二项式系数的和，利用比值为，列出关于的方程，解方程.【题目详解】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，.故选：C.4、A【解题分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【题目详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点在圆上，所以，故选：A5、C【解题分析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；对于B：根据充分不必要条件直接判断；对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；对于D：利用基本不等式求最值.【题目详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）故D正确.故选：C6、D【解题分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【题目详解】由于直线与直线平行，则，解得.故选：D.7、C【解题分析】根据，可知向量建立方程求解即可.【题目详解】由题意根据，可知向量，则有，解得.故选：C8、D【解题分析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程【题目详解】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，故选：D，9、B【解题分析】观察前4项可得，从而可求得结果【题目详解】由题意可得，……，观察规律可得，所以，故选：B10、A【解题分析】解方程即得解.【题目详解】由题得.故选：A【题目点拨】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.11、D【解题分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【题目详解】若圆与直线相切，则到直线的距离为，所以，解得，或.故选：D.12、B【解题分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出【题目详解】设大圆锥的高为，所以，解得故故选：B【题目点拨】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由已知等差、等比数列以及，，是正整数，可得，结合q为正整数，进而求.【题目详解】由，，令，其中m为正整数，有，又为正整数，所以当时，解得，当时，解得不是正整数，故答案为：14、【解题分析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【题目详解】因为满足与相邻并且与不相邻，则将捆绑，内部排序得，再对和全排列得，利用插空法将和插空得，所以满足题意得五位数有.故答案为：15、【解题分析】依题意，设所求的双曲线的方程为.点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故本题正确答案是.16、①.②.【解题分析】第一空，直接套入“黄金椭圆”新定义即可，第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可【题目详解】由题，，所以如图，连接，设内切圆半径为，则，即，∴，∴，∴∴，∴故答案为：；【题目点拨】本题从新定义出发，第一空直接套用定义可得答案，第二空升华，需要在理解新定义的基础上，借助内切圆的相关公式求解，层层递进，是一道好题．关键点在于找到“”这一关系三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2），.【解题分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.【题目详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，依题意有，由，又，解得，∴，即，；（2）∵，∴前项和.∴前项和，.18、（1）（2）（3）【解题分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求出；（2）求出概率对应的值即为中位数；（3）求出第一组中总人数，得女性人数，然后求得恰有一名女性的方法数和总的方法数后可得概率【小问1详解】解：因为频率分布直方图的小矩形面积和为1，所以，解得，【小问2详解】解：前2组频率和为，前3组频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则，；【小问3详解】解：第一组总人数为，男性人2人，则女性有4人，不妨记两名男性为，四名女性为，则随机抽取2名群众的可能为，，，共15种方案，其中恰有一名女性的方法数，共8种，所以第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率为19、（1）（2）【解题分析】（1）利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果（2）利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可【题目详解】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣∴B=（2）由=得ac=4由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16∴a+c=2【题目点拨】本题主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面积公式解三角形问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到20、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.【小问1详解】以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.设，可得，，，.，.因为，所以.【小问2详解】，设为平面DEF的法向量，则，即，可取.因为平面的法向量为，所以.由题设，可得，所以.点B到DFE平面距离.21、（1）（2）或【解题分析】（1）由圆心到直线的距离求得半径，可得圆C1的标准方程；（2）当直线的斜率不存在时，求得直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，由已知弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k，则直线方程可求【小问1详解】∵原点O到直线的距离为，∴圆C1的标准方程为；【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，代入，得，即直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为，即∵直线l被圆C1所截得的弦长为，圆的半径为2，则圆心到直线l的距离，解得∴直线l的方程为，即综上，直线l的方程为或22、（1）；（2）3；（3）；【解题分析】（1）根据两点之间的距离公式，结合点坐标满足抛物线，构造关于的函数关系，求其最值即可；（2）根据题意，求得点的坐标，设出的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得点坐标，同理求得点坐标，再利用斜率计算公式求得即可；（3）根据题意，求得点的坐标，利用坐标转化，求得关于的一元二次方程，利用其有两个不相等的实数根，即可求得的取值范围.【小问1详解】因为点在抛物线上，故可得，又，