考点数列求和及综合应用

4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若数列n(n4)(2)n中的最大项是第k项，则k akak【思路点拨】可由不等式组a 解得 k

a

2k(k4)3

2k(k1)(k5)3 k 【精讲精析】设最大项为第k项，则由不等式组a 得

k k

k(k4)2(k1)(k3)2k(k4)(k1)(k5)

33

k

101,故k4k(k4) (k1)(k ·5.（2011高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列·将这n+2TnanlgTnn 设bntan

前n项和，及两角差的正切等基本知识.（Ⅰ）设这n+2cn，则c11cn21001qn1100，q100n1，又Tc

1qq2 qn1

所以an

Tn

lg100

n

n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）tan1tan(k1)k

tan(k1)tank,1tan(k1)tank tan(k1)tanktan(k1)tank Sn bk tan(k1)tan (tan(k1)tank

tan(n3)tan3n.6.（2011·江苏高考·Ｔ20）M{an}的首项a11nSnkM，n>kSnkSnk2(SnSk（1）

a22a5M=｛3，4， （2）SnkSnk2(SnSk【精讲精析】(1)由题设知，当n2Sn1Sn12(SnS1即(Sn1SnSnSn1)2S1an1an2a12，又a22，n2ana22(n2)2n2a5.(2)kM3,4nkSnk

2(SnSkSn1k

2(Sn1Sk)两式相减得an1kan1k2an1，即an1kan1an1an1k，所以当n8an6an3anan3an6an6an2an2an6n82anan3an3an6an2an2an6an6

()n82anan2an2an2ananan2，于是，n9an3an1an1an3成等差数列，an3an3an1an1，故由(式知2anan1an1an1ananan1，当n9时，danan1，当2m8m68，从而由(式知2am6amam12，故2am7am1am13从而2(am7am6am1amam13am12am1am2dddan1andn2SnkSnk2Sn2Sk（k3,4可知(SnkSnSnSnk)2Sk故9d

且16d2S.解得a7da3da1d 因此，数列an为等差数列，由a11知d2，所以数列an的通项 为an2n1. 高考理科·Ｔ17）等比数列a的各项均为正数，且

1,a29aan

2（Ⅱ）

log3 log3 ...log3 n

【思路点拨】第（Ⅰ）问可由2a3a1a29aaa和公比qa 2 1b .第（Ⅱ）问中，需先利用对数的性质化简bn，再用裂项相消的方法求数列bn

的前n（Ⅰ）设数列{a}q，由a29aa得a29a2q21 2 a0q1.由2a3a1得2a3aq1，所以a1 1故数列{an}的通 为an=(3)（Ⅱ）bnlog3a1log3a2...log3(12...n(n2故1

2(1 1 n(n

n1.1所以数列 }的前n项和为1

n1 高考文科·Ｔ17）已知等比数列{an}中，a13

，公比q 3Sn为

}的前n

S1an 设bnlog3a1log3a2log3an，求数列{bn}的通 和求 求出利用对数的性质化简bn，即得{bn}的通

an

1an211n 111

13

1 1- （1）an3

()

，Sn

1- 3

1an2（2）bnlog3a1log3a2log3=-(1+2+3+...+n)=

n(n+ 数列{b}的通 为b

n(n+ n 文科·T20）b>0，数列ana1=b,n

n

证明：对于一切正整数n，2an （1）n11n1n11n11 b

1

b

1求得{n1}的通 ，进而求出{an}的通 1（1）n11n1（n2），当b1n11n11 b

1

b

1即数列{n1}是以11 为首项，以1为公比的等比数列，由等比数列的通项 1

1 得：n1 (1)n1 ，解得a

(1b)nbn 1

b(1b)

(1

1当b1nn11n1an1

(b. (1

(b0且b1

2nbn(bbn

n

bn)b bnb bn(bn1bn1

bbbn(22 2nbn2an

2nbn(bbn

1

nb=1bn+1+1=2=2ann综上所述2abn1n方法二：由（1）及题设知:当b1bn1+1=2=2an1 1k1 1

1当b0且b1

，而n (1 n n1n1b)

()n1()n2()1( k1 b

1

11 ( （）2

b

b2an2b

，又bn11

2

，2anbn11n2anbn11a10.（2011 高考理科·Ｔ20）设b0数列a满足a=baa

(n2).n n,an2n11

2n【思路点拨（1）bn2n11n12n11)

2

b

化为等比数列，求得n1的通 ，进而求出{an}的通 2b （1）anan1(2n2)annban1anan1bn2n11 当b2

n12n11)（n2）

n1，则

2

2

2 c111 为首项，q2为公比的等比数列.由等比数列通项 2 b(2 (2)n1 n1 b(2b)

bn(2b)

bn(2(2从而an 2n 当b2nn11，即{n1n

2

a

(bn综上所述

(2

(b0且b2nn（ⅰ） }是以n

12

n1n111na2n n（ⅱ）当b2a1ba2b2

b2

，a3b22b4

，b3an

bn

n1nkak

bk(k1)b (k1)bkbk(b (k1)bk1(bak1 k ka kbk(b2)2k(bk2kk

bk12knk1nN*an

bn a

(bn综上所述

(2

(b0且b2n

（ⅰ）b2n（ⅱ）当b2b2nb2n

a2 1，故b2 2n1bnb2nb2n12b2b2n

2n1bnb2n,bn12n1bn12b2n

2n1bnnbn12n1bnbn12n1bn12n1

b22n122nn2n1bnn2n1bn(b [(b2nb2n12 b22n122n)bn2n](ban

2n1(bn2n)

2n1(bn2n(b2nb2n12 b22n122n)(b2)bn2n(b2)2n1(bn2n)(b2n122n1)bn12nbn2n1(bn2n(b2n1bn12n)(bn2n122n12n1(bn2n

bn1．故当b2 （ⅰ（ⅱ）

方法二：由（1）及题设知:当b22n112anb=2nnkk

n1 2n

2

1n2nkbk

n

1当b0且b2

k

k n n(2n

nbk

nbk1 1n

(2)n1(2)n2

(2

2(2)1 (2)1

n()(n1)(n2)10()2nk

1

12

b

b ()2

()

，即an2()

， 1

2() b 2

ban2n11b32第二行649832第二行6498 若数列bba1)nlna，求数列bn 【思路点拨（Ⅰ）由题意易知a12,a26,a318.由等比数列的通 写出数列的通 （Ⅰ）

2,

6,

18qa2a33n通 为a23n1n

（Ⅱ）ba1nlna2×3n1(1)nln(2×3n1)2×3n1(1)n[ln2(n1)ln n2k(kN*Snb12(13 32k1){1(23) [(2k2)(2k1)]}ln 1 kln33 1 b2kn2k1(kN*Snb1b2k2(13 32k2){(12) [(2k3)(2k2)]}ln3ln132k

n

1

(k1)ln3ln

ln3ln23n1nln

Sn

3n1n2

326498326498 若数列b满足：b=a(1)nlna，求数列b的前2n项和

a12,a26,a318.由等比数列的通 （Ⅰ）a12a26a318,因为an3,所以数列ann通项a23n1n（Ⅱ）b=a(1)nln

=23n1(1)n[ln2(n1)ln =23n1(1)nln2(1)n(n1)ln3 (230231232 232n1)[(1)1(1)2 (1)2n]ln2[(1)10(1)21(1)32 (1)2n(2n1)]ln2(132n) 1

(111 11)ln2[01 3

=9n1+0ln2nln39n1nln313.（2011·辽宁高考理科·Ｔ17）已知等差数列{ana2=0，a6+a8 求数列ann2n1 （Ⅱ）

a1d

a1

的通项

an2

2a112d

d（Ⅱ）设数列

的前nSS

a2

S2n1

Sna1a2an.所以，当n＞1Sn

a2a1anan1-

2=1(11 1)2n=1(1

1)2n=

S=

2

综上，数列an的前nS=n2n1

高考理科·T20）若数列Ana1a2an(n2ak1AnESAna1a2ana1a50，且S(A5)>0E数列A5

a112，n=2000，证明：EAnann（n≥20EAnSAn=0？如果存在，写出EAn；如果不存在，说明理由.（Ⅱ）（Ⅲ）必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak1ak1(k1,2, ,1999).所以An是首项为12，公差为1的等差数列.所以a200012(20001)12011.充分性：由于a2000a19991，a1999a19981，…，a2a11，a2000a11999a2000a11999a112a20002011a2000a11999故ak1ak10(k1,2, 令kk1k(k,,, ,n)，则k1.因为a2a1c1,a3a1c1c2，…，ana1c1c2 cn11[(1c1)(n1)(11[(1c1)(n1)(1c2)(n2) (1(1n(n1)[(1c)(n1)(1c(1

因为ck1，所以1ck为偶数(k1, ,n1)所以(1c1)(n1)(1c2)(n2) (1cn1)为偶数n(n所以要使S(An)0，必须 为偶数4n(n1n4mn4m1(mN*)当n4m(mN*)时，E数列A的项满足

0,

1(k1 ma10,S(An)0

当n=4m+1(mN*)时，E数列A的项满足

0,

1(k1 ma10,S(An)0

n=4m+2n=4m+3(mN*时，n(n-14EAa0SA0 高考文科·T20）Ana1a2,an(n2ak1AnESAna1a2an

a1aa50S(A5)>0E数列A5a112，n=2000，证明：EAnana14EAnSAn0n（Ⅱ）（Ⅲ）0n必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak1ak1(k1,2, ,1999).所以An是首项为12，公差为1的等差数列.所以a200012(20001)12011.充分性：由于a2000a19991，a1999a19981，…，a2a11，a2000a11999a2000a11999a112a20002011a2000a11999故ak1ak10(k1, 对首项为4的E数列n由于211,321 所以12 k0(k,, ,).4EAnSAn0n9.a14EAn：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4SAn0，n9.16.（2011·湖南高考文科T20）某企业在第1年初一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用n年初Mana1a2An

（I）当n6时，数列{an}120，公差为