常规数字控制器的设计

常规数字控制器的设计第一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日第三章常规数字控制器的设计2.离散化设计方法首先用适当的离散化方法将连续部分（如图所示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制功能。

第二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日第三章常规数字控制器的设计3．两种方法的比较模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。但在“离散”处理时，系统的动态特性会因采样周期的增加而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为精确法。需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才成立。

第三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．2模拟控制器的离散化

表征模拟校正装置的重要参数是：①极点与零点的数目；②频带宽度与截止频率；③DC增益；④相位裕度；⑤增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。

在离散化过程中，上述特性都要保持下来是不大可能的。在选择模拟控制器的离散化方法时，首先必须明白对离散化控制算法有何要求，以保证模拟校正装置的主要特性能得到保持。

第四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．2．1

Z变化法

Z变换法就是在D(z)与D(s)之间建立的一种映射关系（），这种映射关系保证模拟控制器的脉冲响应的采样值与数字控制器的输出相同。

第五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了解决这一问题:

增加采样角频率，使远高于控制器的截止频率。

第六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日2.带有零阶保持器的Z变换法在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，再进行Z变换从而得到D(s)的离散化模型D(z)第七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3.差分变换法（又称数值积分法）将微分方程离散化为差分方程，最后求z传递函数。第八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日第九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日整理后得到z传递函数或

对比可看出：或第十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日这就是后向差分变换式：前向差分:

或第十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日4.双线性变换法根据z变换定义:展成级数：同理：得双线性变换公式：第十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日双线性变换公式可以进行实s传递函数与z传递函数相互转换，转换公式如下：

第十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日各种离散化方法的比较第十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．3数字PID控制--模拟控制器的离散化设计方法3．3．1理想微分PID控制

设系统的误差为e(t)，则模拟PID控制规律为

它所对应的连续时间系统传递函数为

第十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日（1）比例调节器

控制规律：（2）比例积分调节器控制规律：（3）PID调节器控制规律：第十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日PID控制器连续时间系统传递函数

第十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日PID模拟控制器的离散化用矩形法来计算数值积分：用后向差分来代替微分：第十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日则离散化的PID控制规律为：上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID位置控制算法。这种算式中有一累加项，随着时间k的增加，累加的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时，被控对象的输出也将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就其原因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出的只是当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完全不相关。为此，有必要改进上述算法。

第十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日

在很多控制系统中，由于执行机构是采用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以，只要给出一个增量信号即可。

写出K-1的输出值：上两式相减得PID增量式控制算法第二十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日第二十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日增量式PID算法与位置式PID算法的比较：

两者本质相同，只是前者需要使用有附加积分作用的执行机构。但有如下优点：1、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设逻辑保护；2、手动/自动切换时冲击小；3、算式不需要累加，只需记住四个历史数据，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用内存少，计算方便，不易引起误差累积。第二十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日数字PID控制算法程序框图第二十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日PID控制规律的脉冲传递函数形式两边求z变换，并注意到，得

第二十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日

理想微分PID控制的实际效果并不理想，从阶跃响应看，它的微分作用只能维持一个采样周期。由于工业用执行机构(如气动调节阀或电动调节机构)的动作速度限制，致使偏差大时，微分作用不能充分发挥，再加之理想微分还容易引进高频干扰。为此，实际应用中，几乎所有的数字控制回路，通常都加一低通滤波器来限制高频干扰的影响。

问题：第二十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日实际微分PID控制算式一

通过一级低通滤波器来限制高频干扰的影响

3．3．2实际微分PID控制

低通滤波器和理想微分PID算式相结合后的传递函数为：

第二十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日则差分方程：

若令（Kd为微分系数）第二十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(2)实际微分PID控制算式之二

实际微分PID算式的传递函数：

第二十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日微分作用输出差分方程为：

图中的前置方块主要起微分作用，所以它也称为微分先行PID控制。第二十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日积分作用输出差分方程为：

比例作用输出差分方程为：

位置型算式为：

第三十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(3)实际微分PID控制算式之三

–不完全微分第三十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日由图可见，本算法是微分环节上加一个惯性环节，故也称不完全微分PID控制它仅改变了标准PID控制器的微分部分，使得在偏差发生突变时，微分作用可比较平缓。第三十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日比例、积分和微分三个框的输出差分方程

第三十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3.3.3标准PID控制算法的改进

在实际应用中，数字PID控制器的控制效果有时不如模拟PID控制器。原因：主要是因为数字调节器的控制量在一个采样周期内保持不变，使得在这段时间内系统相当于开环运行。其次由于计算机的数字运算以及数字量输入输出的时间，使得控制作用在时间上有延滞，计算机的有限字长及A／D，D／A转换精度也给控制量带来了误差。办法：充分发挥计算机运算速度快，逻辑判断功能强，编制程序灵活等优势。手段：对PID算法进行了一系列改进。

第三十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3.3.3标准PID控制算法的改进

3.3.3.1积分项的改进

在PID控制中，积分作用是消除余差。

梯形积分－－提高积分项的运算精度

将矩形积分用梯形积分来代替代价：增大存储量和需要更多的运算时间。

第三十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日消除积分不灵敏度容易出现小于字长的精度而丢弃，此时也就无积分作用，这种现象称为积分不灵敏区或称积分作用丢失。

采用以下措施：增加A/D转换位数，加长运算字长，这样可提高运算精度。当积分项连续出现小于输出精度ε的情况下，不要把它们作为“零”舍掉，而是把它们一次一次累加起来，即直到累加值Si大于ε时，再输出Si

。同时把累加单元Si清零。

第三十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(3)PID算法积分饱和现象及其抑制

图3．12PID位置式算法的积分饱和现象

在实际过程控制中，控制变量由于受很多条件的约束而被限制在一个有限范围内,如：

采用标准PID位置式算法，只要系统的偏差没有消除，积分作用就会继续增加或减少。最后使控制量达到上或下的极限值，使得系统进入饱和范围。

第三十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日过限削弱积分法一旦控制变量进入饱和区，则程序只执行削弱积分项的运算，而停止增大积分项的运算。

第三十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日积分分离法

积分分离法的基本思想为：当误差e大于某个规定的门限值时，删去积分作用，从而使∑ei不至于过大。只有当e较小时，才引入积分作用，以消除稳态误差。

Ａ称为门限值。

第三十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3.3.3.2微分项的改进

由于微分作用是在相邻的采样周期内进行，因此它的强弱不仅与微分时间Td，放大系数Kp有关，而且与采样周期T也有明显关系。当T太小时，二次采样之间被控参数变化一般不会太大，因而微分作用就弱。为了在T小时增加微分作用，可增加Kp或Td，但这样一来，会使抗噪声特性恶化，微分作用对它们又特别敏感，因此应设法减少噪声和数据误差在微分项中的影响。

在数字PID算式的微分项中如何减少数据误差和噪声，也是应用中经常遇到的一个问题，这一点可以从微分项表达式看出。

第四十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日微分项的改进方法

①偏差平均

②减少计算次数

③测量值微分当控制系统给定值r(k)发生阶跃变化时，微分动作将导致控制量u(k)的大幅度变化，这不利于生产的稳定操作。因此，在微分项中不考虑给定值r(k)，只对测量值y(k)(即被控量)进行微分。

式中平均项系数m的选取，取决于被控对象的特性。

改成:第四十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日必须注意，对串级控制的副回路而言，给定值是由主回路输出给定的，其变化一般也应加以微分处理，因此，应采用原微分项算式对偏差进行微分。需要指出的是，数字PID算式中的测量值微分的微分项的物理意义，与模拟PID算式中的微分项一样，它们的输出都与被控参数的变化率成正比。只是由于数字PID在采样周期内进行一次，因此这里所指的变化率实际上具有平均变化率的概念。同样数字PID微分项具有超前作用，它与“零阶保持器”具有的滞后正相反，因此可以互相补偿，以改善控制性能。

第四十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．3．3．3干扰的抑制

数字PID控制器的输入量是系统的给定值r和系统实际输出y的偏差值e。在进入正常调节过程后，由于e值不大，相对而言，干扰对控制器的影响也就很大。为了消除干扰的影响，除了在硬件上采取相应的措施以外，在控制算法上也应采取一定措施。

四点中心差分法的思想是：不直接采用误差e(i)，而是用过去和现在四个采样时刻的误差平均值作为基准：

第四十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日通过加权求和，构成近似微分

修正后的PID位置算法：修正后的PID增量式算法：第四十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．3．4数字PID调节器的参数整定

PID调节器的设计一般来说可以分成两个部分，首先是选择调节器的结构，以保证闭环系统的稳定，并尽可能地消除稳态误差。一旦调节器的结构确定下来，调节器设计的下一步任务就归结为参数整定。

3．3．4．1PID调节器参数对系统性能的影响

⑴放大倍数Kp对系统性能的影响①对系统的动态性能：加大，将使系统动作灵敏，响应速度加快，偏大，衰减振荡次数增多，调节时间变长。当太小又会使系统的响应速度缓慢。Kp的选择以输出响应产生4：1衰减过程为宜。②对系统的稳态性能：在系统的稳定性的前提下,加大Kp可以减少余差(又称残差或稳态误差)，但靠它不能消除余差。因此，Kp的整定主要依据系统的动态性能。第四十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日⑵积分时间对系统性能的影响①对系统的动态性能：积分时间Ti通常影响系统的稳定性。Ti太小，系统将不稳定，Ti偏小振荡次数较多；Ti太大，系统的动态性能变差；当Ti较适合时，系统的过渡过程特性比较理想。②对系统的稳态性能：积分时间Ti的作用有助于消除系统余差，提高了系统的控制精度，但若Ti太大，积分作用太弱，则不能减少余差。⑶微分时间Td对系统性能的影响①对系统的动态性能：微分时间常数Td的增加即微分作用的增加可以改善系统的动态特性，如超调量减少，调节时间缩短，允许加大比例控制，使稳态误差(余差)减少，提高控制精度。但微分作用有可能放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。②对系统的稳态性能：微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作用，有助于增加系统的稳定性。

第四十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日第四十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日

采样周期T的选取应与PID参数的整定综合起来考虑，选取采样周期时，一般应考虑以下因素：扰动信号

(2)对象的动态特性

(3)计算机所承担的工作量

(4)对象所要求的控制品质

(5)与计算机及A／D、D／A转换器性能有关

(6)考虑执行机构的响应速度。

3．3．4．2采样周期的选定

第四十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日第四十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．3．4．3实验确定法整定PID参数

(1)试凑法

:试凑法是通过计算机仿真或实际运行，观察系统对典型输入作用的响应曲线，根据各调节参数(，，)对系统响应的影响，反复调节试凑，直到满意为止，从而确定PID参数。

①首先只整定比例系数，将由小变大，使系统响应曲线略有超调。

②若在比例调节的基础上，系统稳态误差太大，则必须加入积分环节。

③若使用PI调节器消除了稳态误差，但系统动态响应经反复调整后仍不能令人满意，则可以加入微分环节，构成PID调节器。PID参数的整定可以按模拟调节器的方法来进行。参数整定通常有两种方法，即理论设计法和实验确定法。

第五十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(2)PID参数的工程整定法

①临界比例法这一方法适用于能自平衡的被控对象，首先选定一个足够短的采样周期。用比例调节器构成闭环使系统工作。逐渐加大比例系数，直到系统发生持续等幅振荡，即系统输出或误差信号发生等幅振荡。记此时的比例系数为，临界比例度，临界振荡周期为。按下面的经验公式得到不同类型调节器参数。

控制度是以模拟调节为基准，将直接数字控制即DDC的控制效果与模拟控制效果相比较。

第五十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(2)PID参数的工程整定法

②阶跃曲线法

让系统处于手动操作的开环状态下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。然后突然改变给定值，给对象一个阶跃输入信号，并记录下被控量在阶跃输入下的整个变化过程曲线。在阶跃响应曲线的拐点处作切线求得滞后时间τ，被控对象时间常数，然后根据表3．4求得各参数。

第五十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．3．4．4数字PID的变参数整定

(1)按照负荷预先设置整定参数方法

(2)时序控制按一定时间顺序采用相应的Kc、Td、Ti参数。(3)人工模型模拟现场操作工人的操作方法，根据经验决定各种情况下的参数值，并编入程序中，然后在执行程序时，自动改变这些参数和给定值。第五十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日举例：1、对于一阶惯性对象，负荷变化不大，工艺要求不变，可采用P控制，例如：压力、液位、串级副付回路等。2、对于一阶惯性加纯滞后对象，负荷变化不大，要求控制精度较高的场合，可采用PI控制，例如用于压力、流量、液位控制。3、对于纯滞后时间较大，控制性能要求高的场合，可采用PID控制，如过热蒸汽温度控制，成分控制等。4、对于二阶以上惯性加纯滞后对象，负荷变化较大，控制性能要求较高时，应采用串级、前馈-反馈，前馈-串级或纯滞后补偿等复杂控制。第五十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．3．4．5数字PID参数的最优整定

(1)性能指标的选择

(2)寻优方法

多参数的寻优已有不少成熟的算法，如单纯型加速法、梯度法等。由于单纯型加速法具有控制参数收敛快，计算工作量小等优点，因此被普遍应用。

第五十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．4最少拍数字控制系统的设计

若已知广义对象的脉冲传递函数G(z)，并且根据对控制系统的性能的要求确定Φ(z)，则数字控制器D(z)也就确定下来了。

第五十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日直接设计法的步骤为：

1．根据对控制系统性能指标的要求和其它的约束条件，确定闭环系统脉冲函数。2．根据D(z)计算公式，确定数字控制器。3．编程实现。

最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在采样时刻输入输出无误差的系统。直接数字设计法设计最少拍控制系统，要考虑以下几点。

(1)对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统在采样时刻精确实现对输入的跟踪。

(2)系统以最快速度达到稳态。

(3)D(z)应是物理可实现的。

(4)闭环系统应是稳定的。

数字控制器的直接数字设计方法，就是根据控制系统的性能要求，应用离散控制理论，直接设计数字控制系统。

第五十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(1)对系统稳态误差的要求

①阶跃信号

②斜坡信号

③加速度信号

一般表达式：其中，A(z)中不含z=1的因子。

第五十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日系统的误差信号应满足

称1-Φ(z)为误差脉冲传递函数。根据z变换的终值定理。系统的稳态误差e(∞)为零，则要求1-Ф(z)中必须含有(1—z-1)的至少m次因子，即：

其中，F1(z)为一个待定的z-1多项式。

第五十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(2)最快速达到稳态的要求

因为A(z)和F1(z)都是z-1多项式，所以E(z)是z-1的有限阶多项式。它的次数等于E(z)趋于零的拍数。为使E(z)尽快为零，我们希望这个多项式的次数为最小。选

若要使设计的数字控制器最简单，且E(z)以最少的拍数达到零，可选F1(z)＝1。但选F1(z)＝1，可能使系统不能满足D(z)物理可实现和稳定性的要求，下面我们再进一步分析其它性能要求。

设计最少拍控制系统的一般公式。

第六十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(3)D(z)物理可实现的要求

所谓数字控制器D(z)物理可实现问题，是要求数字控制器算法中不允许出现对未来时刻的信息的要求。这是因为未来信息尚属未知，不能用来计算控制量。具体说来，就是D(z)的无穷级数展开式中不能出现z的正幂项。

设广义对象的脉冲传递函数为

若我们希望闭环脉冲传递函数Ф(z)为第六十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日其中：

可求得数字控制器的脉冲传递函数

显然，r<l若，则D(z)的无穷级数展开式将出现z的正幂项。这意味着在计算u(k)时需要e(k+1)，e(k+2)，…等信息，这是不可能的。因为，这时的D(z)不是物理可实现的。为此，闭环脉冲传递函数Ф(z)应具有形式：

第六十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日(4)闭环稳定性要求

G(z)若有单位圆上或单位圆外的极点，并且该极点没有与D(z)或1-Ф(z)的零点对消的话，则它也将成为Ф(z)的极点，从而造成闭环系统不稳定。如果我们利用D(z)的零点去对消G(z)不稳定的极点，虽然从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或者辨识的对象有误差时，这种零极点的对消不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。因此，我们只能利用1－Ф(z)的零点来对消这些极点。

第六十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日另外，

若G(z)有位于单位圆外或单位圆上的零点，则数字控制器输出序列{u(k)}将随着时间的推移而趋向于无穷大，造成闭环系统不稳定。为克服这一现象，Ф(z)的零点必须包含G(z)的所有在单位圆外或单位圆上的零点。总之，为保证闭环系统稳定，1－Ф(z)的零点必须包含有G(z)的不稳定极点，而Ф(z)零点必须包含有G(z)的不稳定零点。

设第六十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日G’(z)是G(z)的不包含单位圆外或单位圆上的零极点部分。上式表示G(z)有Z1，Z2，Z3，…，Zw等w个单位圆外或单位圆上的零点，P1，P2，P3，…，Pν等ν单位圆外或单位圆上的极点。为保证闭环稳定性，Ф(z)和1－Ф(z)必须满足：

F2(z)是z-1的有限阶多项式，可以利用它使Ф(z)满足其它的要求。

F3(z)是z-1的有限阶多项式，可以利用它使1－Ф(z)满足其它的要求。

第六十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日应当指出，当G(z)有z＝1的极点时，相对于该极点，根据对系统稳态误差要求导致的式与根据闭环稳定性要求导致的式是一致的。为使系统具有最少拍响应，可以将这两项合并。换句话说，若P1，P2，P3，…，Pν中有k个为1时，则将式中对应的(1-z-1)k与式中的(1-z-1)m合并为(1-z-1)j，且取j=max(k，m)。

？？第六十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日综合以上4个对Ф(z)的要求，总结出最少拍控制系统设计步骤如下：

1．求出广义对象的脉冲传递函数

第六十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日2.设G(z)中有个采样周期的纯滞后，w个单位圆外或单位圆上的零点{Z1，Z2，Z3，…，Zw}，ν个单位圆外或单位圆上的极点{P1，P2，P3，…，Pν}。即

设输入信号为：

问题：单位圆内的零极点为什么不考虑？其中，G’(z)没有单位圆外或单位圆上的零、极点。

第六十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．综合考虑前面讨论的对Ф(z)的4个要求，令：第六十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日4．

Ф(z)的阶次为(l+w+p)、1-Ф(z)的阶次为(m+ν+q)因Ф(z)与1-Ф(z)的阶次相同，应有：

若G(z)有k个z=1的极点，则可将相应的(1-z-1)k由式

中的中提出，并与(1-z-1)m合并为一项(1-z-1)j，其中j=max(k，m)。

其中p，q待定。为满足上式，且保证Ф(z)有最低的阶次，应选

第七十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日5．根据下式

同次幂系数相等的原则。可得出个方程，由之确定Ф0(z)和F(z)中的未知系数和

6．得出最少拍数字控制器

则可得：Ф(z)与1-Ф(z)。第七十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日例3．1设计算机控制系统结构如图2．21所示。其中

已知：采样周期T=0.025，输人为斜坡信号。试设计最少拍控制系统D(z)。

系统广义对象传递函数为

第七十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日其脉冲传递函数

:G(z)的极点为1(单位圆上)和0.368(单位圆内)；零点为一0.718(单位圆内)。其中只有极点1在单位圆上，故w=0，ν=1。对于斜坡信号有，即m=2。由于稳态误差为零，要求必须有因子，而稳定性要求必须有因子，前者显然已包含了后者，故可取m+ν=2。另外，由G(z)可得出。从而有，。

第七十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日根据以上分析，设

:对单位斜坡输入，闭环系统的输出序列为

:第七十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日数字控制器的输出序列(即控制变量)为

:第七十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日例3．2考虑如图2．21所示的系统，设广义对象的脉冲传递函数

设系统采样周期T＝0.05s，典型输人信号为阶跃信号和斜坡信号，试设计最少拍控制系统。

第七十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日所求的最少拍数字控制器

:第七十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日在单位阶跃输入下系统的输出为

:在单位斜坡输入下系统的输出

:第七十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日最少拍控制系统具有最快速的向应。但是它的输出在采样点之间存在有纹波，同时它还需要有很大的控制作用，这个控制作用有可能加剧采样点之间的振荡，还可能在D／A输出

端引起饱和。另外，针对某一典型输入所设计的最少拍控制器，对其它输人信号适应性较差。同时，最少拍控制系统还对参数变化过于敏感，参数变化有可能导致控制效果急剧下降。因此，除个别情况以外，最少拍控制系统实用意义不大。

第七十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．5最少拍无纹波控制系统设计

按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限拍后即进人稳态。这时闭环系统输出c(k)在采样时刻精确地跟踪输入信号。

虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输入一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出存在着纹波或振荡。这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和机械磨损。最少拍系统产生纹波的原因

纹波产生根源是零阶保持器的输入序列u(k)在稳态误差消除后，仍然围绕自己的平均值上下波动。第八十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．5最少拍无纹波控制系统设计由可以得到控制信号U(z)对输入R(z)的脉冲传递函数为：设广义对象脉冲传递函数为

第八十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日则：P(z)的零点即是G(z)的零点。

由于R(z)到U(z)的脉冲传递函数是一个有理分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。如果我们在选择时，令包含G(z)的所有零点，则由式(3．105)，P(z)与中相应因子产生相消，使得由R(z)到U(z)的脉冲传递函数为一阶次有限的z-1多项式，这就表示它的脉冲响应时间为有限长了。这样，经过有限拍之后，控制变量u(k)或者为零，或者为常数，不会再产生振荡，从而避免了连续被控对象的输出c(t)在采样时刻之间的纹波。

第八十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日则：为消除纹波，对闭环系统传递函数的附加要求是：必须包含广义对象G(z)的所有零点。

第八十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日

例3．5设计算机控制系统的结构及参数均与例3．3相同，试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。

由例3．3知广义对象脉冲传递函数

分析可知，w=1(包括G(z)的所有零点)，ν=1（G(z)有一个位于单位圆上的极点1），l=1。对于斜坡信号m＝2。考虑到对稳态误差的要求所对应的因子(1-z-1)2，包含了对稳定性要求所对应的因子(1-z-1)，故将两者合并，即取m+ν=2。计算得：p=m+ν-1=1，q=l+w-1=1。

第八十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日第八十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日则最少拍无纹波控制器为

:闭环系统输出序列

:数字控制器的输出序列(即系统的控制变量):第八十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日将图3．19与图3．17比较，可以看出，有纹波系统的调整时间为两个采样周期，系统输出跟随输入函数后，由于数字控制器的输出仍在波动，所以系统输出与采样时刻之间有纹波。无纹波系统的调整时间为三个采样周期，系统输出进入稳态所需时间比无纹波系统增加了一个采样周期。由于系统中数字控制器的输出经3T后为常值，所以无纹波系统输出在采样点之间不存在纹波。

第八十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6最少拍控制系统的改进

最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。一般采用的其改进算法，如：阻尼因子法、非最少的有限拍控制等等。第八十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6最少拍控制系统的改进

3．6．1阻尼因子法

阻尼因子法是改进最少拍系统对输入信号的适应能力的一种方法。

第八十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6最少拍控制系统的改进

例3.6设广义对象脉冲传递函数:

系统的典型输入函数为斜坡输入。

第九十页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6最少拍控制系统的改进

于是得数字控制器为

:第九十一页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6

最少拍控制系统的改进

3．6．2非最少的有限拍控制

将再乘上一个z-1的有限阶多项式H(z)=h0+h1z-1+…+hnz-n，使得和的阶次均适当提高。

通过适当选择hi，可以改变中各项的系数，从而降低系统对参数变化的灵敏度。

第九十二页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6

最少拍控制系统的改进

3．6．2非最少的有限拍控制

例3．7：为降低闭环系统对参数变化的灵敏度，试对斜坡输入设计非最少的有限拍控制系统，并验证当实际广义对象G(z)变化后系统的输出。

第九十三页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6

最少拍控制系统的改进

3．6．2非最少的有限拍控制

设非最少的有限拍控制系统对应的闭环脉冲传递函数为，则有

由之可得出

:非最小的有限拍控制器为：

第九十四页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．6

最少拍控制系统的改进

3．6．2非最少的有限拍控制

采用D(z)的闭环系统对单位斜坡输入的响应为

:当实际广义被控对象变化时，系统闭环传递函数为

第九十五页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日

注意到这时，不再是有限阶次的z-1多项式，因此系统响应已不再是有限拍的了。系统对单位速度输入的响应为

显然，尽管系统参数发生了较大变化，但系统的输出响应仍然是比较好的。

另外，采用非最少的有限拍控制器，还有利于减少控制变量的幅值。

第九十六页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．7达林算法

在控制系统设计中，纯滞后往往是影响系统动态特性的不利因素，工业过程中如热工和化工过程中往往会有这样的纯滞后环节。这种系统如果控制器设计不当，常常会引起系统的超调和持续振荡。而对这类系统的控制要求，快速性往往是次要的，通常主要要求系统没有超调量或很少超调量，要求系统闭环稳定，而调整时间允许在较多的采样周期内结束。对这样的系统，若采用PID算法，效果往往不好。这时可采用大林算法。第九十七页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．7达林算法连续时间的被控对象Gp(s)是带有纯滞后的一阶或二阶惯性环节，即：或：第九十八页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日3．7达林算法达林算法的设计目标是要设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统相当于一阶惯性环节。如果被控对象有纯滞后，则闭环系统还包括同样的纯滞后环节，即：系统中采用的保持器为零阶保持器，与相对应的整个闭环系统的脉冲传递函数为

第九十九页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日达林算法所设计的控制器：

D(z)即为我们所求的数字控制器，显然它随被控对象不同而不同。

第一百页，共一百一十二页，编辑于2023年，星期日一阶惯性环节加纯时滞τ＝NT的被