2022年山西省吕梁市兴农中学高三数学理联考试题含解析

2022年山西省吕梁市兴农中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象如图所示，则的值为（

）

A.

B.C.

D.参考答案：C，，，选C2.已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=(

) A．100 B．200 C．360 D．400参考答案：D考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab的值．解答： 解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．3.某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有A.474种

B.77种

C.462种

D.79种参考答案：A略4.若是的重心，分别是角的对边，则角

(

)

A．

B.

C．

D.参考答案：D略5.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）

A.10 B.6 C.7 D.16参考答案：A【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于90分的个数数出来，即为输出的结果．【详解】，，成立，不成立，；，，成立，不成立，；，，成立，成立，，；依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选A．【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．6.设全集为实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|1﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}参考答案：C【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】根据阴影部分可知，元素是由属于N，但不属于M的元素构成．【解答】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于N，但不属于M的元素构成，结合集合的运算可知阴影部分的集合为（?UM）∩N．∵M={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，∴?UM={x|﹣2≤x≤2}，∵N={x|1＜x≤3}，∴（?UM）∩N={x|1＜x≤2}故选：C．【点评】本题主要考查利用Venn图表示集合的方法，比较基础．7.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是（

）（1）若，则；

（2）若，则；（3）若，则；

（4）若，则；（5）若，则.A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）（5）

C．（1）（3）（4）

D．（1）（3）（5）

参考答案：D8.若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：9.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥S﹣ABCD，如图所示，则其体积为：VS﹣ABCD===．故选：B．10.设均为正实数，且，则的最小值为

▲

．参考答案：16略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f(x)是奇函数，且当时，.若，则a=__________.参考答案：–3∵，∴.

12.曲线以点（1，-）为切点的切线的倾斜角为

参考答案：45略13.已知，则二项式的展开式中常数项是第 项。参考答案：5略14.已知点为的外心，且||=4，则等于

．参考答案：8

略15.（5分）（2015?泰州一模）在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，?=?，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为．参考答案：【考点】：向量的加法及其几何意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据?=?，求出cosθ，继而求出sinθ，再根据射影定理得到的最小值解：取AB的中点，连接PE，∵=2，∴=2，∴=，∴四边形DEBC为平行四边形，∴=，∵+=﹣2，++4=，∴=2，∵=6，∴=2，||=4，设∠ADP=θ，∵?=?，∴?=||||cosθ=?，∴cosθ=，∴sinθ=，当⊥时，最小，∴=|DP|sinθ|=2×=故答案为：【点评】：本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题16.已知，，则=

参考答案：017.函数对于总有≥0成立，则=

．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且函数f（x）无极值，g（0）g′（1）=﹣e（其中e为自然对数的底数）．（1）求a的取值范围；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，求实数m的取值范围；（3）当a≤0时，对于任意的x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）．参考答案：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+（x＞0）；当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（x）无极值；当a＜0时，f′（x）=；若x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0；若x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；∴f（x）存在极大值，且当x=﹣时，f（x）极大=f（﹣）=ln（﹣）﹣1；综上，a的取值范围是[0，+∞）；（2）∵函数g（x）的导数是g′（x）=ex，∴g（x）=ex+c；∵g（0）g′（1）=﹣e，∴（1+c）e=﹣e，∴c=﹣2，∴g（x）=ex﹣2；∵存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，即存在x∈（0，+∞），使得m＞ex﹣x成立；令h（x）=ex﹣x，则问题可化为m＞h（x）min，对于h（x）=ex﹣x，x∈（0，+∞），∵h′（x）=ex（+）﹣，当x∈（0，+∞）时，∵ex＞1，+≥2=，∴ex（+）＞；∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数；∴h（x）＞h（0）=0，∴m＞0，即实数m的取值范围是（0，+∞）；（3）由（1）得a=0，则f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x），则φ（x）=ex﹣lnx﹣2，∴φ′（x）=ex﹣，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数；设φ′（x）=0的根为t，则et=，即t=e﹣t，∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上是减函数，当x∈（t，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上是增函数；∴φ（x）min=φ（t）=et﹣lne﹣t﹣2=et+t﹣2；∵φ′（1）=e﹣1＞0，φ′（）=﹣2＜0，∴t∈（，1）；∵φ（t）=et+t﹣2在t∈（，1）上是增函数，∴φ（x）min=φ（t）=et+t﹣2＞+﹣2＞0，∴f（x）＜g（x）．19.某单位名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表．区间人数

（1）求正整数，，的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

参考答案：解：（1）由频率分布直方图可知，与两组的人数相同，所以人．………………………1分且人．……………2分总人数人．………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，…………4分第2组的人数为，…………5分第3组的人数为，………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………7分（3）由（2）可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

，，，，，，，，，，，，，，，共有种．……………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：，，，，，，，，共有8种．………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为．……………ks5u…………12分

略20.用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）

年级相关人数抽取人数高一99高二27高三182

（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若从高二、高三年级抽取的人中选人，求这二人都来自高二年级的概率．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可得

，所以，.

（Ⅱ）记从高二年级抽取的人为，，，从高三年级抽取的人为，，则从这两个年级中抽取的人中选人的基本事件有：，，，，，，，，，共种.……8分设选中的人都来自高二的事件为，则包含的基本事件有：，，共种.因此.

故选中的人都来自高二的概率为.

………13分

略21.（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。

在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。

（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望.参考答案：（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3

,

，.

所以的分布列为0123

所以，…………………12分22.（本小题共14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经