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文档简介
2021年浙江省台州市大溪中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.极坐标方程和所表示的曲线围成的面积为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B2.抛物线y=的焦点坐标是()A.(,0) B.(0,) C.(0,1) D.(1,0)参考答案:C【考点】抛物线的简单性质.【分析】先将方程化简为标准形式,即可得焦点坐标.【解答】解:由抛物线可得x2=4y,故焦点坐标为(0,1)故选C.3.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B4.身高与体重有关系可以用(
)分析来分析A.残差
B.
回归
C.
二维条形图
D.独立检验参考答案:B5.直线x﹣y+1=0的倾斜角是()A. B. C. D.参考答案:B【考点】直线的倾斜角.【分析】把直线的方程化为斜截式,求出斜率,根据斜率和倾斜角的关系,倾斜角的范围,求出倾斜角的大小.【解答】解:直线y+1=0即y=x+1,故直线的斜率等于,设直线的倾斜角等于α,则0≤α<π,且tanα=,故α=60°,故选B.【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小.求出直线的斜率是解题的关键.6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为(
)参考答案:C略7.阅读如图所示的程序框图,输出的结果为(
)A.20 B.3 C.2 D.60
参考答案:A略8.用秦九韶算法计算多项式
当时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是(
)A.6,6
B.5,
6
C.5,
5
D.6,
5参考答案:A9.在复平面内,复数对应点位于(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案:B略10.已知l是双曲线的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为()A.12 B. C. D.参考答案:D【考点】双曲线的简单性质.【分析】设P的坐标,利用PF1⊥PF2,建立方程,求出P的坐标,则△PF1F2的面积可求.【解答】解:由题意,设P(y,y),∵PF1⊥PF2,∴(﹣y,﹣y)?(y,﹣y)=0,∴2y2﹣6+y2=0,∴|y|=,∴△PF1F2的面积为=2.故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间(0,1)上随机取两个数m,n,则关于x的一元二次方程有实根的概率为
参考答案:略12.点P在椭圆+=1上,点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离为
.参考答案:;【考点】圆锥曲线的最值问题;直线与圆锥曲线的关系.【分析】设点P的坐标为(4cosθ,3sinθ),可得点P到直线3x﹣4y=24的d的表达式,再根据余弦函数的值域求得它的最值.【解答】解:设点P的坐标为(4cosθ,3sinθ),可得点P到直线3x﹣4y=24的d==,当时,d取得最大值为,当时,最小值为.故答案为:;.13.将边长为2的正沿边上的高折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为_________参考答案:略14.已知在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为为参数),以为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为则直线被圆C所截得的弦长为
.参考答案:15.已知空间三点,,,,若向量分别与,垂直,则向量的坐标为_
.参考答案:(1,1,1)16.若,方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是__________________.(改编题)参考答案:17.若是关于x的实系数方程的一个虚数,则这个方程的另一个虚根为
。参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数.(I)当时,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)若当时,,求a的取值范围.参考答案:(1)(2)试题分析:(Ⅰ)先求的定义域,再求,,,由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为(Ⅱ)构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.试题解析:(I)的定义域为.当时,,曲线在处切线方程为(II)当时,等价于设,则,(i)当,时,,故在上单调递增,因此;(ii)当时,令得.由和得,故当时,,在单调递减,因此.综上,的取值范围是【名师点睛】求函数的单调区间的方法:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y′=f′(x);(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.19.三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值. 参考答案:解(I)如图,设,取的中点,则,因为, 所以,又平面, 以为轴建立空间坐标系, 则,,,,,,,,由,知, 又,从而平面;
-------------------5分 (II)由,得.
-------------------6分 设平面的法向量为,,,所以,设,则
------------------7分再设平面的法向量为,,, 所以,设,则,------------------8分 故,
因为二面角为锐角,所以可知二面角的余弦值为-------------------10分
略20.已知函数f(x)=x3﹣ax2+bx+c(a,b,c∈R).(1)若函数f(x)在x=﹣1和x=3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x∈[﹣2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】(1)先求导函数f′(x)=3x2﹣2ax+b,利用函数f(x)在x=﹣1和x=3时取得极值,可求a,b;(2)当x∈[﹣2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,即转化为f(x)的最小值小于2|c|即可.【解答】解:(1)∵函数f(x)在x=﹣1和x=3时取极值,∴﹣1,3是方程3x2﹣2ax+b=0的两根,∴,∴;(2)f(x)=x3﹣3x2﹣9x+c,f′(x)=3x2﹣6x﹣9,当x变化时,有下表x(﹣∞,﹣1)﹣1(﹣1,3)3(3,+∞)f’(x)+0﹣0+f(x)↗Maxc+5↘Minc﹣27↗而f(﹣2)=c﹣2,f(6)=c+54,∴x∈[﹣2,6]时f(x)的最大值为c+54要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可当c≥0时,c+54<2c,∴c>54,当c<0时,c+54<﹣2c,∴c<﹣18∴c∈(﹣∞,﹣18)∪(54,+∞).21.(14分)已知函数(1)求证:(2)求不等式的解集参考答案:证明:(1)当
所以
(2)解:由(1)知,当的解集为空集,
当
当
综上知,不等式22.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求点A到平面PBC的距离.参考答案:考点:点、线、面间的距离计算;空间中直线与平面之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:(1),要证明PC⊥BC,可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面,由PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,容易证明BC⊥平面PCD,从而得证;(2),有两种方法可以求点A到平面PBC的距离:方法一,注意到第一问证明的结论,取AB的中点E,容易证明DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等,而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍,由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD,交线是PC,所以只求D到PC的距离即可,在等腰直角三角形PDC中易求;方法二,等体积法:连接AC,则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等,而三棱锥P﹣ACB体积易求,三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求,其高即为点A到平面PBC的距离,设为h,则利用体积相等即求.解答:解:(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC.由∠BCD=90°,得CD⊥BC,又PD∩DC=D,PD、DC?平面PCD,所以BC⊥平面PCD.因为PC?平面PCD,故PC⊥BC.
(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等.又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F.易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于.
(方法二)等体积法:连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°
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