2021年浙江省台州市大溪中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021年浙江省台州市大溪中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.极坐标方程和所表示的曲线围成的面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.抛物线y=的焦点坐标是（）A．（，0） B．（0，） C．（0，1） D．（1，0）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为（0，1）故选C．3.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.身高与体重有关系可以用（

）分析来分析A.残差

B.

回归

C.

二维条形图

D.独立检验参考答案：B5.直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线的倾斜角．【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．【解答】解：直线y+1=0即y=x+1，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于α，则0≤α＜π，且tanα=，故α=60°，故选B．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为(

)参考答案：C略7.阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（

）A.20 B.3 C.2 D.60

参考答案：A略8.用秦九韶算法计算多项式

当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（

）A．6，6

B．5,

6

C．5,

5

D．6,

5参考答案：A9.在复平面内，复数对应点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：B略10.已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B． C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设P（y，y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣y）?（y，﹣y）=0，∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，∴△PF1F2的面积为=2．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间（0，1）上随机取两个数m,n,则关于x的一元二次方程有实根的概率为

参考答案：略12.点P在椭圆+=1上，点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离为

．参考答案：；【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x﹣4y=24的d的表达式，再根据余弦函数的值域求得它的最值．【解答】解：设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x﹣4y=24的d==，当时，d取得最大值为，当时，最小值为．故答案为：；．13.将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_________参考答案：略14.已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线被圆C所截得的弦长为

．参考答案：15.已知空间三点，，，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为_

.参考答案：(1,1,1)16.若,方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是__________________.（改编题）参考答案：17.若是关于x的实系数方程的一个虚数，则这个方程的另一个虚根为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）的定义域为.当时，，曲线在处切线方程为（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．19.三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值. 参考答案：解（I）如图，设，取的中点，则，因为， 所以，又平面， 以为轴建立空间坐标系， 则，，，，，，，，由，知， 又，从而平面；

-------------------5分 （II）由，得.

-------------------6分 设平面的法向量为，，，所以，设，则

------------------7分再设平面的法向量为，，， 所以，设，则，------------------8分 故，

因为二面角为锐角，所以可知二面角的余弦值为-------------------10分

略20.已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若函数f（x）在x=﹣1和x=3处取得极值，试求a，b的值；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求导函数f′（x）=3x2﹣2ax+b，利用函数f（x）在x=﹣1和x=3时取得极值，可求a，b；（2）当x∈[﹣2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，即转化为f（x）的最小值小于2|c|即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）在x=﹣1和x=3时取极值，∴﹣1，3是方程3x2﹣2ax+b=0的两根，∴，∴；（2）f（x）=x3﹣3x2﹣9x+c，f′（x）=3x2﹣6x﹣9，当x变化时，有下表x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）f’（x）+0﹣0+f（x）↗Maxc+5↘Minc﹣27↗而f（﹣2）=c﹣2，f（6）=c+54，∴x∈[﹣2，6]时f（x）的最大值为c+54要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜﹣2c，∴c＜﹣18∴c∈（﹣∞，﹣18）∪（54，+∞）．21.（14分）已知函数（1）求证：（2）求不等式的解集参考答案：证明：（1）当

所以

（2）解：由（1）知，当的解集为空集，

当

当

综上知，不等式22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．解答：解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC?平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°