2021-2022学年山西省吕梁市中阳县张子山乡中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年山西省吕梁市中阳县张子山乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【专题】压轴题．【分析】在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=故选D．【点评】本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．3.程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）A．i≤90？ B．i≤100？ C．i≤200？ D．i≤300？参考答案：B考点： 循环结构．

专题： 图表型．分析： 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求．解答： 解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因为输出结果是23×53×113×233×473×953的值，结束循环，判断框应该是i≤100？．故选B．点评： 本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题．新课改地区高考常考题型．也可以利用循环的规律求解．4.已知向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），若∥，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或0 C．1或﹣3 D．0或2参考答案：B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意和平面向量共线的坐标表示列出方程，化简后求出x的值．【解答】解：∵向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），且∥，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，即2x（x+2）=0，解得x=﹣2或x=0，故选B．5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则该几何体的体积为（A）9

（B）10

（C）11

（D）参考答案：C略7.等比数列{an}中，a3=16，a4=8，则a1=（

）

(A)64

(B)32

(C)4

(D)2参考答案：A8.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60参考答案：B【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．9.设复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：==1﹣i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线－＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1-PF2=60°，=a，则该双曲线的渐近线方程为A.x±y=0

B.x±y=0

C.x±y=0

D.x±y=0参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，，。根据以上等式，可猜想出的一般结论是

；参考答案：，。12.对于问题：“已知两个正数满足，求的最小值”，给出如下一种解法：，，，，当且仅当，即时，取最小值．参考上述解法，已知是的三个内角，则的最小值为

．参考答案：13.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。（从小到大排列）参考答案：这组数据为_________不妨设得：①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意②只能取；得：这组数据为14.设函数，且.①若，则函数的值域为______；②若在上是增函数，则a的取值范围是_____.参考答案：【考点】分段函数，指数函数、对数函数的性质及运算。解析：答案：15.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

．参考答案：考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答： 解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．16.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数（是虚数单位）为实数的概率为

(结果用最简分数表示)参考答案：17.已知f(x)定义域为(a，b)，如果都有,则称f(x)为“周函数”。下列函数中，“周函数”有

（填序号）①，

②，③，④参考答案：

②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．19.（本小题满分14分）已知平行四边形，，，，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点．（1）求证：；（2）求证：面面；（3）求二面角的正切值．参考答案：（1）见解析；(2)见解析；（3）【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．G4G5G7解析：(1)证明：取的中点，连接,为中点，且,为平行四边形边的中点，且，且四边形是平行四边形,平面，平面平面………4分（3）

取的中点，连接，，，为的中点为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，且在中，，，根据余弦定理，可得在中，，，，，即又，所以又面面……………10分（3）过作于，连接,又,,是二面角的平面角在中，，，故所以二面角的正切值为……14分【思路点拨】（1）取DA1的中点G，连接FG、GE，通过证明BF∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面A1DE．（2）取DE的中点H，连接A1H、CH，通过证明A1H⊥面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A1DE⊥面DEBC．（3）利用（2）的结果，直接求解几何体的体积即可．20.已知圆的圆心为，半径为，圆与椭圆：（）有一个公共点(3，1)，分别是椭圆的左、右焦点。（1）求圆的标准方程；（2）若点P的坐标为(4，4)，试探究斜率为k的直线与圆能否相切，若能，求出椭圆和直线的方程；若不能，请说明理由。参考答案：（1）由已知可设圆C的方程为。将点A的坐标代入圆C的方程，得，即，解得。∵，∴，∴圆C的方程为。（2）直线能与圆C相切。依题意，设直线的方程为，即。

若直线与圆C相切，则，

∴，解得。

当时，直线与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去；当时，直线与x轴的交点横坐标为，∴。∴由椭圆的定义得，∴，即，

∴，直线能与圆C相切，直线的方程为，椭圆E的方程为。21.如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（，0），（1，）是椭圆上的一个点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P（x0，y0）（x0≠0）是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l：y=﹣1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为，求y0的值．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）确定，利用是椭圆上的一个点，代入求出a，即可求椭圆的标准方程；（2）求出M，N的坐标，利用平面向量的数量积判断OM⊥MN，利用△MON的面积为，建立方程，即可求y0的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为，由题意，得．因为a2﹣c2=b2，所以b2=a2﹣3．又是椭圆上的一个点，所以，解得a2=4或（舍去），从而椭圆的标