四川省绵阳市北川中学高三数学文期末试题含解析

四川省绵阳市北川中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i是虚数单位，复数，则(

)A.－i B.－3i C.i D.3i参考答案：A【分析】先化简复数，然后再求解它的共轭复数.【详解】因为，所以.故选A.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，一般思路是先化简复数为最简形式，结合共轭复数的定义可求，侧重考查数学运算的核心素养.2.若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D∵集合有且只有一个元素，∴，∴实数的取值范围为.故选：D3.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（

）A.4π B.2πC. D.π参考答案：B【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可．【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：B．4.若角765°的终边上有一点（4，m），则m的值是（）A．1 B．±4 C．4 D．﹣4参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用三角函数的定义，即可求出m的值．【解答】解：因为角765°的终边上有一点（4，m），所以tan765°=tan45°==1，所以m=4．故选：C．5.命题“”的否定是()A． B．C． D．参考答案：C6.已知向量，，若，则等于（

）A.（-2，-1）

B.（2，1）

C.（3，-1）

D.（-3，1）参考答案：A

【知识点】向量的运算;向量共线的充要条件F2解析：因为,则,解得,所以,故选A.【思路点拨】先利用向量共线的充要条件解得,再利用向量的加法进行运算即可.7.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个小孔以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的是

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：A8.已知复数且．（1）可能为实数

（2）不可能为纯虚数（3）若的共轭复数，则．其中正确的结论个数为（

）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３参考答案：C略9.已知集合U={a,b,c,d,e}，M={a,d}，N={a,c,e}，则M∪eUN为

A．{c,e}

B．{a,b,d}

C．{b,d}

D．{a,c,d,e}参考答案：B10.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．角满足，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：A∵角的终边过点，∴，，∵，故角的终边在第一或第二象限，当角的终边在第一象限时，，，当角的终边在第二象限时，，，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的值为_______.参考答案：略12.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元．参考答案：1200【考点】一次函数的性质与图象．【分析】设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即为所求．【解答】解：设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案为1200．【点评】本题主要考查一次函数的性质应用，属于基础题．13.为定义在上奇函数，时，，则 。参考答案：﹣3略14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，BC边上的高为，则的最大值是_____．参考答案：【分析】利用三角形面积公式可得，利用余弦定理化简原式为，再利用两角和的正弦公式与三角函数的有界性可得结果.【详解】因为边上的高为，所以，即，可得，故的最大值是．故答案为．【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理、两角和的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.15.在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.参考答案：1，所以

16.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_______.参考答案：，略17.有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是

.

参考答案：【知识点】古典概型的概率求法.

K2解析：五个位置的全排列为5！，其中三个r位置无论如何互换都正确，即在5！种排法中，有3！种正确排法，所以所求概率为：.【思路点拨】先求正确排法种数及所有排法种数，再用减法得所求概率.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，,．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．参考答案：见解析（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，且，所以平面.因为平面，所以．又因为四边形为正方形，所以．因为，所以平面．（Ⅱ）设，因为四边形为正方形，所以为中点．设为的中点，连结，则，且．由已知，且，则且所以四边形为平行四边形.所以，即．因为平面，平面，所以平面．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知平面，因为，所以平面，所以．又因为四边形为正方形，所以，所以平面．由（Ⅱ）可知，平面，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，所以．因为．所以．故三棱锥的体积为．19.已知正项递增的等差数列，为数列的前项和，若=12，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.参考答案：解：（1）设数列的公差为（>0）,由题意得，得，，所以（2）所以（1），（2）（1）-（2）：所以。略20.【本题16分】已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为，并且与平行.

（1）求的值；

（2）已知实数t∈R，求函数的最小值；

（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）图象与轴异于原点的交点，

图象与轴的交点，

由题意可得，即，

………………2分

∴，

………………4分

（2）=

…5分

令，在时，，

∴在单调递增，

…………6分

图象的对称轴，抛物线开口向上

①当即时，

………………7分

②当即时，

…8分

③当即时，

……………9分

,

，所以在区间上单调递增

…10分

∴时，

①当时，有，

，

得，同理，……１1分

∴由的单调性知

、

从而有，符合题设.

…12分

②当时，，

，

由的单调性知，

∴，与题设不符………14分

③当时，同理可得，

得，与题设不符.

……15分

∴综合①、②、③得

…………16分

说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.21.（1）在等差数列中，，求及前项和；（2）在等比数列中，，求．参考答案：解析：（1）数列是等差数列，因此，由于

又

（2）

由

所以，

22.设p:实数x满足,其中,命题实