《函数的单调性 》第1课时示范公开课教学课件【高中数学人教B版必修第一册】

函数的单调性第1课时整体概览（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第95~97，回答下列问题：情景与探究我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似右图所示的记忆规律．如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f（x）．这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？新知探究问题1怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”？新知探究单调性的定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，且I⊆D：（1）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称y＝f（x）在I上是增函数（也称在I上单调递增），如图（1）所示；（2）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称y＝f（x）在I上是减函数（也称在I上单

调递减），如图（2）所示；新知探究【想一想】你能否说在定义域内是减函数？为什么？不能；不符合减函数的定义．新知探究【练一练】下图函数y＝f（x）的图像，请指出函数y＝f（x）的单调增区间和单调减区间．从图像可以发现：函数y＝f（x）在[－6，－4]上是增函数，在[－4，－2]上是减函数，在[－2，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，在[3，6]上是增函数．单调增区间为：[－6，－4]，[－2，1]，[3，6]；单调减区间为：[－4，－2]，[1，3]．新知探究问题2可以说该函数的减区间为[－4，－2]∪[1，3]吗？不能问题3图像上的最高点和最低点对应的函数值有什么特征呢？新知探究最值的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），则称f（x）的最大值为f（x0），而x0称为f（x）的最大值点；如果对任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称f（x）的最小值为f（x0），而x0称为f（x）的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．新知探究说明：如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值．新知探究例1求证：函数f（x）＝－2x在R上是减函数．证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x1－x2＜0，那么f（x1）－f（x2）＝（－2x1）－（－2x2）＝2（x2－x1）＞0，从而f（x1）＞f（x2）．因此，函数f（x）＝－2x在R上是减函数．新知探究证明单调性的解题步骤：（1）任取x1，x2∈I且x1＜x2；（2）判断f（x1）与f（x2）的大小关系（常用作差法讨论f（x1）－f（x2）的符号，其中可能用到因式分解、配方等方法）；（3）下结论，即指出函数在集合I上的单调性．新知探究例2判断函数f（x）＝3x＋5，x∈[－1，6]的单调性，并求这个函数的最值．解：任取x1，x2∈[－1，6]且x1＜x2，则x1－x2＜0，那么f（x1）－f（x2）＝（3x1＋5）－（3x2＋5）＝3（x1－x2）＜0，所以这个函数是增函数．因此，当－1≤x≤6时，有f（－1）≤f（x）≤f（6），从而这个函数的最小值为f（－1）＝2，最大值为f（6）＝23．新知探究例2的结论也可由不等式的知识得到：因为－1≤x≤6，所以－3≤3x≤18，2≤3x＋5≤23，即f（－1）≤f（x）≤f（6），其余同上．新知探究例3判断函数在（－∞，0）上的单调性，并证明．证明：任取x1，x2∈且x1＜x2，则x1－x2＜0，那么解：函数在（－∞，0）上是减函数．从而f（x1）＞f（x2）．因此，函数在上是减