11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

第十一章三角形11．1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高、中线与角平分线学习目标：1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）重点：掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.难点：钝角三角形的两短边上高的画法.自主学习自主学习一、知识链接1.如图按要求作图：PAABOB（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E，则有____=_____.（2）在右图中，作出∠AOB的平分线，则有∠_____=∠_____=____∠AOB.二、新知预习1.三角形的高：（1）小学我们已经学过三角形的高，如图①，过点A向它的对边画垂线，作出△ABC的高AD.（2）自主归纳：①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.②一个三角形有______条高，请在图①中作出△ABC的另外两条高.③三角形的高是一条_______.2.（1）如图②，连接△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，则所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的_____线，画出△ABC其他的两条中线.（2）自主归纳：①在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线.②一个三角形有_____条中线，每条中线都是一条______.3.三角形的角平分线：（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?（2）自主归纳①三角形角平分线定义：________________________.②三角形的角平分线与角的平分线的区别是：______________.③一个三角形有_______条角平分线.4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线几何推理图例三角形的高∵AD是△ABC的高，∴①____⊥_____，②∠ADB=∠______=______°.三角形的中线∵BF是△ABC的中线，∴①AF=_____=______AC.②AC=____AF=____CF.CB三角形的角平分线∵BE为△ABC的角平分线，∴①∠1=∠_____=____∠ABC.②∠ABC=____∠1=___∠2.三、自学自测1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.画中线AD，BE，CF画高DG，EH，FM画角平分线GM，HN，IP四、我的疑惑________________________________________________________________________________________________________________________________课堂探究课堂探究要点探究探究点1：三角形的高问题1：什么是三角形的高？怎样画三角形的高？问题2：由三角形的高你能得到什么结论？探究交流1．锐角三角形的三条高（1）你能画出这个三角形的三条高吗？（2）这三条高之间有怎样的位置关系？（3）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？2．直角三角形的三条高（1）画出直角三角形的三条高.（2）它们有怎样的位置关系？直角边BC上的高是；直角边AB上的高是；斜边AC上的高是.3．钝角三角形的三条高（1）钝角三角形的三条高相交吗？（2）AC边上的高是哪条线段？AB边上的高是哪条线段？BC边上的高是哪条线段？（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？（4）它们所在的直线交于一点吗？这点位于何处？归纳三角形的三条高的特性锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量高之间是否相交高所在的直线是否相交三条高所在直线的交点的位置典例精析例1如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.探究点2：三角形的中线问题1如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？问题2如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线.想一想由三角形的中线能得到什么结论？画一画如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？问题3如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？问题4通过问题3你能发现什么规律？归纳总结1.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.例2如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点3：三角形的角平分线问题1如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？问题2你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?问题3一个三角形有几条角平分线？问题4请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？例3如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数.二、课堂小结三角形的有关线段三角形的有关线段的线段．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段.当堂检测当堂检测1．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③3.如图，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（）A．2条B．3条C．4条D．5条4.下列各组图形，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高（） 5.填空：（1）如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2，BD=，AE=.（2）如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=_______，∠3=________，∠ABC=2______.6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=____.7.在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.能力提升王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?参考答案自主学习一、知识链接1．解：（1）AEBE如图，线段PD，点E即为所求.（2）AOCBOC如图，射线OC即为所求.二、新知预习1．解：（1）如图①（1），线段AD即为所求.（2）②3如图①（2），线段BE、CF即为所求.③线段2．解：（1）中如图②，线段BE、CF即为所求.（2）②3线段3．解：（1）如图③，线段AD即为所求.（2）①三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线③34．三角形的高：ADBCADC90三角形的中线：CF22三角形的角平分线：222三、自学自测1．如图所示即为所求.四、我的疑惑课堂探究一、要点探究探究点1：三角形的高问题1解：定义如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2解：∠ADB=∠ADC=90°.探究交流1．锐角三角形的三条高问题1解：（1）如图所示.（2）锐角三角形的三条高交于同一点.(3)锐角三角形的三条高都在三角形的内部.2．直角三角形的三条高（1）如图所示.（2）BDABBC直角三角形的三条高交于直角顶点.3．钝角三角形的三条高（1）如图所示.（2）BFCEAD（3）钝角三角形的三条高不相交于一点.（4）钝角三角形的三条高所在直线交于一点.并且这个点在三角形外部.归纳311相交相交不相交相交相交相交三角形内部直角顶点三角形外部典例精析例1解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知，AD·BC＝BP·AC.代入数值，可解得BP＝.探究点2：三角形的中线问题1解：AC=BC=AB.问题2解：定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.想一想解：BD=CD=BC.画一画解：如图，三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.问题3解：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题4解：三角形的中线能将三角形的面积平分.例2解：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.探究点3：三角形的角平分线问题1解：∠AOC=∠BOC.问题2解：如图.想一想解：相同点是：∠ABD=∠CBD；不同点是：前者是线段，后者是射线.问题3解：3条角平分线问题4解，如图，三角形的三条角平分线交于一点，称之为三角形的内心．