考点9-正弦定理和余弦定理

第页.考点9正弦定理和余弦定理1.（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=()（A）（B）（C）（D）【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选A，根据正弦定理及得：，。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。2.（2010·北京高考文科·Ｔ7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）；（B）（C）（D）【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识。【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。【规范解答】选A。等腰三角形的底边长为。所以班徽的面积为。3.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，,则（）A、a>bB、a<bC、a=bD、a与b的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.【规范解答】选A.∵∠C=120°，，∴2a2=a2+b2-2abcos120°，∴a2=b2+ab，∴（）2+-1=0，∴=<1，∴b<a.【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查.4.（2010·北京高考理科·Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。【规范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。5.（2010·广东高考理科·Ｔ11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出、的大小，求出，从而求出【规范解答】由A+C=2B及得，由正弦定理得得，由知，所以，，所以【答案】1满足。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的最大值。【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。【思路点拨】利用面积公式求角C，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。【规范解答】(Ⅰ)由题意可知absinC＝2abcosC.所以tanC＝.因为0<C<，所以C＝.（Ⅱ)由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)＝sinA+sin(-A) ＝sinA+cosA+sinA＝sin(A+)≤.当A＝，即△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是.【方法技巧】求时利用转化为关于角A的三角函数的最值问题。10.（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°11.（2010·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。【思路点拨】利用二倍角余弦公式求的值。再利用正弦定理求，利用余弦定理求。【规范解答】（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π所