人教A版高中数学单元视域下的起始课教学以三角函数起始课《任意角》为例

单元视域下的起始课教学

——以三角函数起始课《任意角》为例目录问题的提出01单元视域下的起始课教学探索02单元PK课时教学视角的案例设计与思考03研究过程碰到的困难与设想0401问题的提出1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”1.2单元教学更利于核心素养的生成1.3单元教学的实施难点在起始课1.4起始课的教学功能应重新定位011.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”

随着社会的发展，对人的综合能力要求随之也提高了。

教育部印发了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，要求我们由研究知识传授转向研究全程育人、综合育人、全面育人，也就是从学科教学走向学科教育，确立了以发展学生的核心素养为目标。01问题的提出1.2单元教学更利于核心素养的生成1.3单元教学的实施难点在起始课1.4起始课的教学功能应重新定位011.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”1.2单元教学更利于核心素养的生成

过去与发展知识技能相适应的“低起点、小步子、多活动、勤反馈”策略，已经不能适应发展学生的核心素养了。

核心素养是精神、观念、思想与方法，通俗地讲，就是那些很多年后宏观留下的进入到学生灵魂深处的东西，因此与之相适应的应该是注重整体一致与逻辑连贯的教学。正是因为单元教学能满足这些需求，目前各个学科不约而同地提出单元教学。

《普通高中数学课程标准（2017年）》采用了“内容主线——内容主题——核心内容”的课程结构，充分体现了数学的结构性和系统性。所以宜在单元视域下进行设计教学，以充分体现数学知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性，促进核心素养的生成。01问题的提出1.2单元教学更利于核心素养的生成1.3单元教学的实施难点在起始课1.4起始课的教学功能应重新定位011.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”1.3单元教学的实施难点在起始课

万事开头难、良好的开端是成功的一半，用在单元教学上，说明了实施的难点是起始课，而起始课又很重要。

起始课能为整章的教学起到路线规划、导航定位的作用，相当于汽车GPS的功能。安装了GPS的起始教学能让后续课时教学近似于“傻瓜式”操作，避免让我们走弯路，而且能加强整体认识、协调彼此之间的联系。如何设计、安装理想的“GPS”呢？这其实就是起始课的设计、教学问题。01问题的提出1.2单元教学更利于核心素养的生成1.3单元教学的实施难点在起始课1.4起始课的教学功能应重新定位011.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”1.4起始课的教学功能应重新定位

过去我们注重知识技能教学，将起始课定位于每一章的第一节课，就课论课，对章引言、章头图关注较少，把一章的内容当成每一课时的简单叠加。教学过程注重局部、细节，重在逐个解决眼前面临的小问题，接受教材或是教师的思维结果，这样的教学效益是低下的，需要给予重新定位。02单元视域下的起始课教学探索2.1明确起始课的教学功能与定位2.2以单元为单位进行教学分析与总体设计2.3以“四大”统领设计起始课教学2.4起始课教学与后续课时教学的衔接2.1明确起始课的教学功能与定位

我们认为，单元起始课是在课程观下以发展学科核心素养、促进深度学习为目标，以章头图、章引言、（章或单元）第一课时文本等为教学素材，帮助学生构建良好的知识结构和认知结构。它注重的是为整个单元的学习提供先行组织者作用，发挥着“谋好篇、定好调、开好局”的重要意义。02单元视域下的起始课教学探索2.1明确起始课的教学功能与定位2.2以单元为单位进行教学分析与总体设计2.3以“四大”统领设计起始课教学2.4起始课教学与后续课时教学的衔接2.2以单元为单位进行教学分析与总体设计

在进行起始课设计时，应考虑以下问题：

（1）围绕“教什么（学什么）——为什么要教（为什么要学）——怎么教（怎么学）”主线如何展开，如何将研究内容和思想方法有效融合?

（2）以何种方式整体、逻辑连贯地处理本单元与其它单元、本单元内部知识，以增强数学知识的结构化？如何才能帮助学生在头脑中形成良好的认知结构？

（3）核心素养如何在教学中落实？如何激发研究欲望？

在明晰单元目标（内容）的基础上，通常我们要明确三个主要问题（确立目标、导向目标、评价目标），经过研究，我们认为在教学上还应该细化成如下8点：学生应该去哪里？——学习内容及其教学价值分析；学生最终要到哪里？——学习目标设计；学生如何到达目的地？——学习过程设计；教师（学生）如何检测学生（自己）是否到达了目的地？——学习评价设计；教师如何保证整个行动方案的可靠性与有效性？——教学设计评估。学生能够去哪里？——学生学习基础与学习潜能分析；学生是在怎样的境脉中去的？——学习环境与学习条件分析；教师如何帮助学生到达目的地？——学习指导设计。（具体的阐述请大家看我们工作室领衔人李昌官老师著的《高中数学研究型教学》第64页到83页）。02单元视域下的起始课教学探索2.1明确起始课的教学功能与定位2.2以单元为单位进行教学分析与总体设计2.3以“四大”统领设计起始课教学2.4起始课教学与后续课时教学的衔接2.3以“四大”统领设计起始课教学

单元视域下的起始课突出和强化“四大”，即大背景、大问题、大框架、大思路，在导航系统（先行组织者）、内容系统（文本）、助学系统（生本）方面发挥重要作用。

“大背景”是指蕴含着大的数学问题的比较宏大的情境或背景；“大问题”是指时间上先于其他问题，内容上涵盖其他问题，其他问题是由此派生出来，或其他问题的解决是为之服务的具有本原性、根本性的学科核心问题，亦即对整个单元学习和研究起统率与引领作用的问题[1]。02单元视域下的起始课教学探索2.1明确起始课的教学功能与定位2.2以单元为单位进行教学分析与总体设计2.3以“四大”统领设计起始课教学2.4起始课教学与后续课时教学的衔接2.4起始课教学与后续课时教学的衔接

如果把起始课的主要任务看成是制定方案、设计安装GPS，那么后续课时的教学任务就是操作执行。我们在操作执行时既要从单元整体角度全盘考虑，又要注意后续课时与起始课、相邻课时教学的衔接。

如果作为一名经验丰富的老司机，也就是拥有了GPS又善于操作，那么他的整体性做的比较好，就是老教师已经具备了一定的单元教学思想。

在后续课时教学中我们可以从如下四个方面突出单元教学思想：基于知识辩证、逻辑地发展提出问题，基于知识发展的内在联系性和整体性剖析问题，基于方法一致性突破研究难点，基于新旧知识的关系提出后续研究的问题。（具体案例可参看发表在《中小学数学》2019.7-8《单元视域下的课时教学》）03

单元PK课时教学视角的案例设计与思考3.1课时教学视角

3.2疑问及原因分析3.3问题背后的根本原因分析3.4单元教学视角3.1课时教学视角问题1初中时我们定义的角是怎样的呢？角的范围是什么？问题2假如你的手表慢了15分钟，你准备怎么将它校准呢？假如你的手表快了15分钟，你准备怎么将它校准呢？假如你的手表快了1小时15分钟，又怎么将它校准呢？追问：这里涉及的角跟以前学过的角有什么区别呢？问题3实际生活中，我们还能遇到很多类似的情景，比如体操运动员转体2周，转体3周，齿轮被动轮与主动轮的有相反的转动方向……这些都需要对角的概念进行推广（提出课题：任意角）。你准备从哪些角度对角进行推广呢？我们规定，按逆时针方向旋转形成的角为正角，

按顺时针方向旋转形成的角为负角，

如果一条射线没有作任何旋转，则形成零角。问题4在今后的学习中，我们经常要把角放到平面直角坐标进行讨论。那么角怎样放到平面直角坐标中比较方便呢？问题1初中时我们定义的角是怎样的呢？如何表示角？角的范围是怎样的？出现了哪几类角？假如你的手表慢了15分钟，你准备怎么将它校准呢？假如你的手表快了15分钟，你准备怎么将它校准呢？假如你的手表快了1小时15分钟，又怎么将它校准呢？实际生活中，我们还能遇到很多类似的情景，比如体操运动员转体2周，转体3周，齿轮被动轮与主动轮的有相反的转动方向……这些都需要对角的概念进行推广（提出课题：任意角）。你准备从哪些角度对角进行推广呢？在今后的学习中，我们经常要把角放到平面直角坐标进行讨论。那么角怎样放到平面直角坐标中比较方便呢？3.2疑问问题2问题5问题4问题3你能用描述法来表示与角

终边相同的角的集合S吗？是为了研究角才把角的概念作进一步的推广吗？规定逆时针的角是正角，顺时针的角是负角合理吗，为什么这么规定？为什么还要引入零角的概念？今后学习为什么要把角放在平面直角坐标系中？经归纳得到的结论为什么就是正确的？研究新对象有章可循吗？问题13.3疑问原因分析问题2问题4问题3是为了研究角才把角的概念作进一步的推广吗？规定逆时针的角是正角，顺时针的角是负角合理吗，为什么这么规定？为什么还要引入零角的概念？今后学习为什么要把角放在平面直角坐标系中？没有让学生感受到学习本章知识的必要性，因此没法从函数的角度让学生感受到角的概念推广的必要性；疑问原因分析没有与正负数表示相反意义的量进行类比、与平面直角坐标系逆时针为正方向类比，说明规定的合理性；没有让学生意识到引进平面直角坐标系是为了统一、简洁，便于分类管理与刻画周而复始；环节疑问原因分析研究新对象有章可循吗？没有形成概念学习的基本套路。问题5经归纳得到的结论为什么就是正确的？环节没有让学生认识到终边相同角的关系归纳之所以正确的背后是数、形两个方面的阐释；3.3疑问背后的根本原因

进一步思考根本原因，设计者注重从知识技能角度考虑，没有注重研究问题的思路与方法、建构知识的策略与方法，没有把本节内容放在单元、起始课的角度去思考，没有考虑到本节课与本单元、与其它单元之间的逻辑联系，对数学的精神、思想和方法重视不够。

基于本课时是三角函数的开篇之作，且是函数学习后又一个基本初等函数的学习。宜对知识产生的必要性、规定（操作）的合理性、内容的发展性，在教学的三个环节中凸显单元教学思想。引入部分需要发挥起始课的先行组织者的作用，同时起好单元的承前启后作用；知识形成环节明晰规定的合理性，勤设为什么；回顾反思环节总结研究方法、策略、思路及研究展望。《任意角》（就考试而言）知识简单，背后却蕴含了丰富的数学思想，是培养学生用数学眼光看世界、用数学语言表达世界、用数学思维分析世界的难得的素材。因此，我们在单元视域下对该节课作一个改进设计。3.4

单元视域下的设计单元内容单元视域起始课设计内容及其解析学生认知分析目标及其解析教学环境分析内容及其解析理解数学（一）知识产生的背景（二）知识生长的过程与阶段（三）知识建构的策略与方法（四）知识间的联系与结构（五）知识的要点与本质（六）知识的学科意义与教学价值目标及其解析理解教学（一）单元教学目标（二）课时教学目标3.4教学设计思路知识线索周而复始规律质点作圆周运动抽象出数学模型三角函数提出研究内容要素研究；要素与要素的关系；函数关系；三角函数性质；三角函数应用。抽象出几何模型要素OAB寻求数的表示类比任意角建立平台简洁统一、刻画周而复始、终边的有序排列将角放在平面直角坐标系中任意角的建构过程任意角的建模过程自变量象限角观察终边相同的角从特殊到一般观察、分类表示性质数、形阐述概念构建线索实例下定义分类素养形成线索用数学眼光观察世界用数学语言表达世界用数学思维分析世界整体思路生活中有周期现象建立模型何为变量范围不足扩充角度呈现背景，提出问题联想激活、寻求方法抽象概括、建立模型运用新知、巩固内化准确定位引入象限牢记函数不忘初心回顾反思，拓展问题3.5教学过程一、呈现背景，提出问题开场：在刘慈欣的《三体》科幻小说中，三体星人穷其一生在研究三颗行星的运行规律，很遗憾失败了，他们为了生存要远征地球，你觉得地球什么地方最吸引虚拟的三体人？生活中有哪些现象展现出规律的运行？非周期规律背景1：观察视频，摩天轮转一圈又回到原处，再转一圈又回到原处，呈现循环往复、周而复始的现象。生活中还有很多呈现周而复始的例子，比如行进中的车轮、星期的更替、潮汐的现象、单摆的运动、月圆月缺等（展示章头图）。（单元大背景）单元核心问题：是否存在一个数学模型来刻画周而复始现象中的变量与变量的关系？（单元大问题）

函数是刻画现实世界中两个量的变化规律的重要数学模型。我们已经学习了指数函数、对数函数、幂函数等，知道了一次函数是刻画匀速增长变化规律的模型、指数函数是刻画爆炸性增长变化规律的模型。问题1：我们从最基本的车轮旋转入手，你能把上述的“周而复始”运动抽象出几何模型吗？（数学抽象）问题2：如何刻画点P的位置？问题3：变化过程中出现了5个变量，你能说说有哪些值得研究的问题？提出一章的研究内容，只提不答三角函数二、联想激活，寻找方法方法1：类比。类比指数函数、对数函数、幂函数的研究路径（基本思路）和研究内容（三要素、性质）；研究对象微观类比。方法2：从特殊到一般，进行归纳、抽象。这是建构数学概念最常用的思路与方法。方法3：数形结合。从形的直观与数的精确、先定性再定量阐释数学概念。问题3变化过程中出现了5个变量，你能说说有哪些值得研究的问题？问题4你会首选哪个问题进行研究？能谈谈原因吗？角背景3初中时我们定义的角是怎样的呢？角的范围是什么？背景4体操中跳水运动员向内、向外转体1080度

；体操运动员后空翻转体720度；齿轮被随着主动轮的旋转而旋转，被动轮与主动轮有相反的转动方向。这些例子所提到的角不仅不在范围[00,3600]中，而且还涉及到了方向，那么说明我们高中要研究的角的范围不应该局限于[00,3600]，需要对角的概念进行推广。思考（1）如果你的手表慢了15分钟，你是如何将它校准的，此时分针向什么方向旋转了几度？（3）如果你的手表快了1个半小时，你是如何将它校准的，此时分针向什么方向旋转了几度？（2）如果你的手表块了15分钟，你是如何将它