2023年河南省专升本高等数学试卷及答案

1711

河南省普通高等学校解：limarctan-=—：limarctan—=一餐。

XTO,X2a。-

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试川-+的值为(

5.设/(x)在x=l处可导，且尸⑴=1,则lim)

力一>0h

《高等数学》试卷

A.-lB.-2C.-3D.-4

题号一二三四五六总分核分人

解:川-2/，)-/(1+/，)

11m=lim[-2/r(l-2/?)-f(l+h)=-3f(1)=-3=>C。

分数/?->oh/?->o

6.若函数/(x)在区间(a/)内有尸(x)>0,/〃(x)<0,则在区间(。/)内,7(x)图形

)

一.单项选择题(每题2分，共计50分)

得分评卷入

A.单调递减且为凸的B.单调递增且为凸的

在每小题的备选答案中选出一个对的答案，并将其代码写在题干后

C.单调递减且为凹的D.单调递增且为凹的

面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.

解:,/(幻>0=单调增长;/"(x)<0=凸的。应选B。

1.集合｛3,4,5｝的所有子集共有)

7.曲线y=l+/的拐点是)

A.5B.6C.7D.8

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(14)

解：子集个数2〃=23=8=0。

解：y"=6x=0nx=0=(0j),应选A。

2.函数f(x)=arcsin(x-1)+J3-x的定义域为)

x2-2

A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]8.曲线/(X)=-—―的水平渐近线是)

3x-

解：<=>0<x<2=>Bo2.21

[3-x>0A.yB.y=——。J，*D.y-

3-3

)2

3.当JVF0时，与x不等价的无穷小量是X-2=j，J=C.

解：lim

3.3

A.2xB.sin%C.ex-1D.ln(l+x)

解：根据常用等价关系知，只有2x与x比较不是等价的。应选A。tantdt

9.lim地一--()

。4

4.当x=0是函数/(x)=arctan，的()mx

x

A.0C.2D.1

A.连续点B,可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点

tanxdx2xtanx21„A.tanx-cotx+CB.tanx------FC

解：lim--------=lim-----7—=一=B。tanx

XTO£x->04r2

C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C

10.若函数f(x)是g(x)的原函数,则下列等式对的的是)

解：分析结果，就能知道选择C。

AJf{x}dx=g(x)+CB.J^(x)6^=/(x)+C

15.函数y=/在区间[[J的平均值为()

C.^gXx)djc=f(x)+CD.jfX^dx=g(x)+C

A.—B.—C.8D.4

33

解：根据不定积分与原函数的关系知,jg(x)cbc=f(x)+Co应选B。

a3

皿1a」1r3,x13

解：--I于⑺dx=-|x-djc=--=—=>nB.

11JcosQ-3x)4(=()JaJl

b-a26)3

A.-gsin(l-3x)+C16.过Oz轴及点(3,-2,4)的平面方程为()

B.-sin(l-3x)+C

A.3x+2y=0B.2y+z=0

C.—sin(l—3x)+CD.3sin(l-3x)+C

C.2x+3y=0D.2x+z=0

解：Jcos(l-3x)dx=—^|cos0-3x)J(1-3x)=-^sin(l-3x)+C=A。

解：通过Oz轴的平面可设为Ax+8)，=0,把点(3,-2,4)代入得2x+3)，=0应选C。

也可以把点(3,-2,4)代入所给的方程验证，且不含z。

12.设丁=［；。一1)。一3)力，则y'(0)=)

A.-3B.-1C.1D.317.双曲线■石一不=1绕z轴旋转所成的曲面方程为()

解：yf=(x-l)(x-3)=>yf(O)=3=>D°y=0

13.下列广义积分收敛的是97

()_riBY-r±£i=i

A.=

厂,dxgdx3434

A.

1五(x+y)。z2D,二_(y+z)、i

C.------------=J

1-Kodxr>dx3434

C.D.

1777

解：把工一二=1中/换成一+)产得三±2二一二=葭应选A。

("今收敛，应选C。3434

解：由p积分和g积分的收敛性知,

3-Jxy+9

18.lim————)

XTO

14.对不定积分Jdx,下列计算结果错误是)»T0

sin2xcos2x

ABc.oD.极限不存在

-1-4£〃(ln〃尸£献方

上应解：对级数之」一、y―J需要运用积分判别法，超过大纲范围。级数

解：hm--------lim—--=->--B-o

x->0XTO孙(3+Jxy+9)；：*+Jxy+96MnInn„〃(lnn)

v-K)y->0=2

则年y—!—有结论：当°>1时收敛，当pvi时发散。级数之」一、产与级

19.若z=xy)

(e,l)

A.1数之上运用比较判别法的极限形式来拟定-一发散的，应选Co

B.1c.D.0

e念”

解:I23.鼎级数ZfT(x+1)”的收敛区间为()

=xyIn=elne=e=>C。

n=03

(e.D

aA.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)

20.方程22丫-.隹3=1所拟定的隐函数为2=/(匕)，)，则丝=)

OX解：令x+l=z,级数化为之占「=>收敛区间为(-3,3),即

A―n=033n=o\3/

x+1G(-3,3)=>xw(-4,2)nD。

dz

解：令尸=z?y-应3-1=>F；=-Z3\F[-2zy-3xz2=>—24.微分y〃+3V+2y=efcosx特解形式应设为y=()

dx~~F；~2y-3xz

x

A.CecosxB.(Gcosx+C2sinx)

应选A。

x2x

C.xe~(C1cosx+C2sinx)D.xe~(C}cosx+C2sinx)

21.设C为抛物线y=/上从(0,0)到(1,1)的一段弧，则120dt+V力=

解：一1+i不是特性方程的特性根，特解应设为""(Gcosx+CzSinx)。应选人

()

25.设函数)=/(此是微分方程y"+V=e2"的解，且/(%)=0,则/(x)在诙处

A.-lB.OC.1D.2

()

解：C：从0变到1,£,2xydx+x2dy=£4x3tZx=1C。

A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.取最大值

2x0=/〃*0)

22.下列正项级数收敛的是()解：有/〃(/)+/'(%)e>0=>Ao

31

B.y—

“=2〃卜〃

得分评卷人32.若函数/(x)=oP+bx在x=l处取得极值2,则。=,b=_

二、填空题（每题2分，共30分）

解：/(x)=2ar+Z?=0=2a+Z?=0：〃+/?=2=a=—2;〃=4。

26.设了(工)=2工+5,则./1/(尢)-1]=.33.

解：f[f(x)-1]=2(/(x)-1)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。

解：f^^=ln|/(x)|+C,

J/(x)」/(x)

2n

27.lim—=.

34.£\l\-x2dx=

解：构造级数之L,运用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件

仁n\解：Jx45|9=40

2"

lim——=0o35.向量Z=37+4]-E的模|3|=

"trnl

’3e©,x<0解：|3：+4j-G|=J9+16+1=4。

28.若函数/(x)=1a在x=0处连续，则。=

2x+-,x>036.已知平面%：x+2y-5z+7=0与平面兀？：4x+3y+〃zz+13=0垂直，则

I2

解：lim/(x)=—;lim/(x)=3=>。=6。

XTO-2解：4={1,2,-5};五2={4,3,/%}=4+6-5m=0=/九=2。

29.己知曲线y=x?+x-2上点M处的切线平行于直线y=5x-l,则点M的坐标22

37.设f(x+y,xy)=x+yf则/(x,y)=

为—解：f(x+y,xy)=x2+y2=(x+y)2-2xyf(x,y)=x2-2y。

解：)，'=2x+l=5=x=2=y=4nM(2,4)。

38.已知/=『f{x,y)dx,互换积分顺序后，则/=

30.设fa)=e2Z,则/(2007)(0)=

2

解：/⑺3)=2〃/1=y(2007)(0)=22007e-1o(x,y)\0<y<^,y<x<yl\-y\

解：D=<

2

尢=3,+1则匕

31.设

y=2r-t+1=1(x,^)|0<x<^y,0<y<Aj+1(x,y)|^<x<l,0<y<

解：包=竺」二也

=1O

dx3dxr=l421F?

所以顺序互换后为［j公］：/*,,）办+花小才”/（%,y）dy.

2

44.0<f'n25/l-e-2'«fc<—ln2.（）

Jo2

解：因0<Jl-u-2*<1,由定积分保序性知：04C'yjl-e^dxiin2<—In2,

Jo2

应为J。

所以S=limS“=—o

〃->8U]45.函数/（x,y）在点P（x,y）处可微是f（x,y）在P（x,y）处连续的充足条件.（）

40.微分方程yn-2yf+y=0的通解为—解：/。,丁）在点「（苍），）处可微可得了。,丁）在点「。,），）处连续，反之不成立，应

解：有二重特性根1,故通解为〉=。]陵+。2入^（6，。2为任意常数）。为应为J。

得分评卷人

得分评卷入

四、计算题（每小题5分，共40分）

--------------三、判断题（每小题2分，共10分）

--------------你认为对的的在题后括号内划“J”，反之划“X”.

46.求lim-g

41.若数列｛4｝单调，则卜〃｝必收敛.（）iQ.

limsintinxx-.rlim

解：如数列｛〃｝单调，但发散，应为X。解：lim%smr=hm*"==ex^

X^0*A-^0*

42.若函数/0）在区间卜,以上连续，在（外。）内可导，且/⑷工/（/?）,则一定不存

在&w3,b）,使/（9=0.（）

解：如y=/在41,3]满足上述条件，但存在g=0w[—l,3],使得/©=0,应为

Xo-侣的导吟

47.求函数y

43.lim-------======lim------=lim—~~—=-1.()

.—cox+sinxi1+cosx工，-sinx

解：两边取自然对数得In|>H=21n|x|+|[ln|l-x|-ln|l+x|],一一（1分）

Isinx

解：第二步不满足9或巴，是错误的，事实上lim三*吧=lim—3一=1。应

0oox—x+sinx30i,sinx两边对x求导得：一y'——I------------------（3分）

1+yx3\_\-x1+x

11

为X。（4分）

3(D3(7+1)

故旧官^r焉］。——15分）51.计算“丁公6，其中。为圆环区域：i«/+y2«4

D

解：积分区域。如图07-1所示：。的边界/+）产=1、/+丁=4用极坐标表达

48.求不定积分+1n（1+工呼氏.

分别为尸=1,/•=2：故积分区域。在极坐标系系下为

解：j[e2x+ln(l+x)]dr=^e2xd(2x)+1ln(l+x)dx---(1分)

{(r,0)|O<0<27t,l<r<2},——(2分)

故JJ."y=『可r2cos26rd/----(3分)

=-e2'4-xln(l4-x)—fXdx----(3分)

2J1+xD

=g/r+式ln(l+x)-jl--p—dx—(4分)n

4,A

2x

=^e+xln(l+x)-x+ln(l+x)4-Co---(5分)若於。弋。《端广2cos20吐一（4分）

49.计算定积分,J2+2cos2xdx.2兀

15C2n15115K

=—£(1+cos29k/0=—(9+sin20)—-(5分)

04

解：El2+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos2x,所以

52.将二^•展开为x的累级数，并写出收敛区间.

I：J2+2cos2x^Zr=「V4cos2xdx=]：21cosx\dx----(2分)4-x2

2x

=2pcosx公-2jnCosj«Zr-----(4分)解：因-一（2分）

432-2+x2(1_|)2(1+|)

'2

=2sin点一2sin.qg=2+2=4。----(5分)——=YxnXG(-l,l)o

21-x>1=0

50.设2=/("§1!1)，,3/2))),且/(〃#)为可微函数，求dz.

所以—冗e（―2,2）；=xG（―2,2）。一（3分）

解：令，siny=〃，3x2y=y,有z=J'(“,u),运用微分的不变性得1---〃旬1H—

22

dz=/；(w,v)du+/J(w,v)dv=f^d(exsiny)+/；J(3x2y)---(3分)

故冷点灯鸯闿耳铲卜”ZT4分）

=f：(e戈sinydx+excosydy)+f'ifixydx4-3x2dy)-----(4分)

xx2

(esinyf't+6xyf')dx+(ecosyf't+3xf')dy-一(5分)=£备一”xe(-2,2)。一(5分)

M=0/

53.求微分方程x-dy+（），-2xy-x2）dx=O的通解.az2bV八

一=ay-----=0

令axx2bV

1—2X得唯一驻点x=y=ll——，----（5分）

解：方程可化为v+=这是一阶线性非齐次微分方程，一-（1分）5Z-2bV八

厂=ax-----=0

y

它相应的齐次方程y'+—二丫=0的通解为〉=520，，-一（2分）

"厂由题可知造价一定在内部存在最小值，故x=y=就是使造价最小的取值，此

设原方程有通解y=C（x）x2e^,代入方程得C\x）x2e^=1,