立体几何教案

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐立体几何教案.其次十六课时

课题：§9．9

棱柱和棱锥(二)

教学目的：

1.理解平行六面体的概念把握平行六面体、长方体、正方体的概念及性质；,弄清直平行六面体、

长方体、正方体的关系.

2.把握长方体对角线的性质,能利用其计算有关长度与角度的问题.教学重点：平行六面体、长方体的概念及性质教学难点：平行六面体、长方体的概念及性质授课类型：新授课课时支配：1课时

教具：多媒体、实物投影仪教学过程：

一、复习引入：

1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，假如其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．

3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，根据它的面数分离叫四周体、五面体、六面体等

说明：我们今后学习的多面体都是．．

凸多面体4．棱柱的概念：有两个面相互平行，其余每相邻两个面的交线相互平行，这样的多面体叫棱柱两个相互平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）

5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分离叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……

设集合{}A=棱柱，{}B=斜棱柱，{}C=直棱柱，{}D=正棱柱，则,B

CA

DC=?．

6．棱柱的性质

（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形．7．直棱柱的直观图的画法

画棱柱的直观图共分四个步骤：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图．

底面一定要画成水平放置位置的平面图形的直观图二、讲解新课：

D'

C'

B'A'

D

C1平行六面体、长方体、正方体

底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．

2．平行六面体、长方体的性质

定理1：平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,ACBDCADB''''相交于一点，且在点O处相互平分．

证实：设O是AC'的中点，则11

()22

AOACABADAA''=

=++，设,,PMN分离是,,BDCADB'''的中点，同理：1

()2

APABADAA'=

++，1

()2AMABADAA'=++，

1

()2

ANABADAA'=++，

所以，,,,OPMN四点重合，定理得证

定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和．已知：长方体AC'中，AC'是一条对角线，求证：2

2

2

2

ACABADAA''=++．

证实：∵ACABADAA''=++，

∴2

||()()ACABADAAABADAA'''=++?++，

∵ABAD⊥，ABAA'⊥，AAAD'⊥，

∴2||ACABABADADAAAA'''=?+?+?222

||||||ABADAA'=++，

即2222

ACABADAA''=++．

三、讲解范例：例1如图平行六面体ABCDABCD''''-中，

,3

AA

BAADBADπ

''∠=∠∠=

，

,ABADaAAb'===，求对角面BBDD''的面积

HO

A'

D'C'B'D

C

B

A

解：∵BDADAB=-，∴()AABDAAADAB''?=?-，

∵AABAAD''∠=∠，,ABADaAAb'===，

∴()(coscos)0AABDAAADABabAABAAD''''?=

?-=∠-∠=，∴AABD'⊥，∵//AADD''，∴DDBD'⊥，

所以，对角面BBDD''是矩形，它的面积是BDBBab'?=．

例2．已知：正四棱柱ABCDABCD''''-的底面边长为2，（1）求二面角BACB'--的大小；（2）求点B到平面ABC'的距离

解：（

1）连结BD，设,ACBD交于O，连结BO

'，

∵ABCD是正方形，∴BOAC⊥，又∵BB'⊥底面ABCD，∴BOAC'⊥，∴BOB'∠是二面角BACB'--的平面角，

在RtBOB'?中，1

2

OBAC==BB'=

∴45BOB'

∠=，∴二面角BACB'--为45．

（2）作BHBO'⊥于H，∵AC⊥平面BOB'，∴BHAC⊥，∴BH⊥平面ABC'，即BH为点B到平面ABC'的距离，在等腰直角三角形BOB'中，∵BBBO'==

∴1BH=，

所以，点B到平面ABC'的距离为1．

例3．棱长为a的正方体OABCOABC''''-中，,EF分离为棱,ABBC上的动点，且

(0)AEBFxxa==≤≤，

（1）求证：AFCE''⊥；

（2）当BEF?的面积取得最大值时，求二面角BEFB'--的大小．

证：（1）以O为原点，直线,,OAOCOO'分离为,,xyz轴建立空间直角坐标系，∴AEBFx==，

则(,0,)Aaa'，(0,,)Caa'，(,,0)Eax，(,,0)Faxa-，∴(,,),(,,)AFxaaCEaxaa''=--=--，

2)(aaxaaxCA+-+-='?'22

0axaxaa=-+-+=，

∴AFCE''⊥．

（2）由,BFxEBax==-，

则2211()()2228

BEF

xaxaSxax?+-=-≤=，当且仅当xax=-，即2

a

x=时等号成立，此时,EF分离为,ABBC的中点，取EF的中点M，连BM，则BMEF⊥，

按照三垂线定理知EFBM'⊥，∴BMB'∠即为二面角BEFB'--的平面角，

在RtBMF?中，22,24

BMBFaBBa'=

==，在RtBBM'?中，tan2224

BB

BMBBM

a''∠=

==，所以，二面角BEFB'--的大小是22arctan．

例4如图，M、N分离是棱长为1的正方体''''DCBAABCD-的棱'BB、''CB的中点．求异面直线MN与'CD所成的角．解：∵MN＝

)(2

1

CC+，'CD＝CC+，∴·CDMN＝)'(2

1

BCCC+·)(CC+

＝

2

1

(2||CC＋CC·＋·CC＋·)．∵CDCC⊥'，BCCC⊥'，CDBC⊥，

∴0·'=CDCC，0'·=CCBC，0·=CDBC，∴·CDMN＝

212||CC＝2

1．又∵2

2

||=

MN，2||=CD，∴cos＜,CDMN'

·CDMN2

12·2

221=

，∴＜',CDMN＞＝

60，即异面直线MN与'CD所成的角为

60．

评述由以上例题，可以看到利用向量解几何题的普通办法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证实．四、课堂练习：

1

正方体1111ABCDABCD-中，11AA=，M为AD中点，N为

1BD上一点，1:1:2DNNB=，MC

BDP=，

（1）求证：NP⊥平面ABCD；

（2）求平面PNC与平面11CCDD所成的角；（3）求点C到平面1DMB的距离2．直平行六面体的两条对角线分离为9cm33cm，底面周长为18cm，侧棱长为4cm，求它的表面积

五、小结：.直平行六面体、长方体、正方体的关系.长方体对角线