信息论第五章

信息论课件第五章第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(1)循环码的性质循环码是线性分组码的一个重要子类；由于循环码具有优良的代数结构，使得可用简单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算，并可使用多种简单而有效的译码方法；循环码是研究最深入、理论最成熟、应用最广泛的一类线性分组码。第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(2)循环码的定义循环码：如果(n,k)线性分组码的任意码矢C=(Cn－1,Cn－2,…,C0)的i次循环移位，所得矢量C(i)=(Cn－1－i,Cn－2－i,…,C0,Cn－1,…,Cn－i)仍是一个码矢，则称此线性码为(n,k)循环码。第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(3)码多项式码多项式：为了运算的方便，将码矢的各分量作为多项式的系数，把码矢表示成多项式，称为码多项式。其一般表示式为C(x)=Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0)码多项式i次循环移位的表示方法记码多项式C(x)的一次左移循环为C(1)(x)

，i次左移循环为C(i)(x)第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期六码多项式的模(xn+1)运算0和1两个元素模2运算下构成域。第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期六码矢C循环i次所得码矢的码多项式

C(x)乘以x，再除以(xn+1)，得第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期六上式表明：码矢循环一次的码多项式C(1)(x)是原码多项式C(x)乘以x除以(xn+1)的余式。写作因此，

C(x)的i次循环移位C(i)(x)是C(x)乘以xi除以(xn+1)的余式，即结论：循环码的码矢的i次循环移位等效于将码多项式乘xi后再模(xn+1)。第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(4)举例：(7,3)循环码可由任一个码矢，比如(0011101)经过循环移位，得到其它6个非0码矢；也可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1)，乘以xi(i=1,2,…,6)，再模(x7+1)运算得到其它6个非0码多项式。移位过程和相应的多项式运算如表6.3.1所示。第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期六第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(1)循环码的生成矩阵根据循环码的循环特性，可由一个码字的循环移位得到其它的非0码字。在(n,k)循环码的2k个码字中，取前(k－1)位皆为0的码字g(x)（其次数r=n－k），再经(k－1)次循环移位，共得到k个码字:g(x),xg(x),…,xk－1g(x)

这k个码字显然是相互独立的，可作为码生成矩阵的k行，于是得到循环码的生成矩阵G(x)第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(2)循环码的生成多项式码的生成矩阵一旦确定，码就确定了；这就说明：(n,k)循环码可由它的一个(n－k)次码多项式g(x)来确定；所以说g(x)生成了(n,k)循环码，因此称g(x)为码的生成多项式。第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(3)生成多项式和码多项式的关系定理：在(n,k)循环码中，生成多项式g(x)是惟一的(n－k)次码多项式，且次数是最低的。定理：在(n,k)循环码中，每个码多项式C(x)都是g(x)的倍式；而每个为g(x)倍式且次数小于或等于(n－1)的多项式，必是一个码多项式。

第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期六定理6.3.3(定理6.3.2的逆定理)：在一个(n,k)线性码中，如果全部码多项式都是最低次的(n－k)次码多项式的倍式，则此线性码为一个(n,k)循环码。

注：一般说来，这种循环码仍具有把(n,k)线性码码中任一非0码矢循环移位必为一码矢的循环特性，但从一个非0码矢出发，进行循环移位，就未必能得到码的所有非0码矢了。所以称这种循环码为推广循环码。第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期六码字循环关系图单纯循环码的码字循环图：(7,3)循环码第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期六推广循环码的码字循环图：(6,3)循环码第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(4)如何寻找一个合适的生成多项式由下面式子可知：循环码的多项式等于信息多项式乘以生成多项式。

这说明：对一个循环码只要生成多项式一旦确定，码就确定了，编码问题就解决了。

所以：作一循环码的关键，就在于寻找一个适当的生成多项式。第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期六定理：(n,k)循环码的生成多项式g(x)是(xn+1)的因式，即xn+1=h(x)g(x)。定理：若g(x)是一个(n－k)次多项式，且为(xn+1)的因式，则g(x)生成一个(n,k)循环码。结论：当求作一个(n,k)循环码时，只要分解多项式(xn+1)，从中取出(n－k)次因式作生成多项式即可。第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期六举例：求(7,3)循环码的生成多项式。[解]：分解多项式xn+1，取其4次因式作生成多项式x7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)可将一次和任一个三次因式的乘积作为生成多项式，因而可取g1(x)=(x+1)(x3+x2+1)=x4+x2+x+1或g2(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式：设g(x)为(n,k)循环码的生成多项式，必为(xn+1)的因式，则有xn+1=h(x)g(x)，式中h(x)为k次多项式，称为(n,k)循环码的监督多项式。(n,k)循环码也可由其监督多项式完全确定。举例：(7,3)循环码x7+1=(x3+x+1)(x4+x2+x+1)4次多项式为生成多项式g(x)=x4+x2+x+1=g4x4+g3x3+g2x2+g1x+g03次多项式是监督多项式h(x)=x3+x+1=h3x3+h2x2+h1x+h0第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期六循环码的监督矩阵由等式x7+1=h(x)g(x)两端同次项系数相等得将上面的方程组写成矩阵形式第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期六上式中，列阵的元素是生成多项式g(x)的系数，是一个码字，那么第一个矩阵则为(7,3)循环码的监督矩阵，即第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期六循环码监督矩阵的构成由式(6.3.2)可见，监督矩阵的第一行是码的监督多项式h(x)的系数的反序排列，第二、三、四行是第一行的移位；可用监督多项式的系数来构成监督矩阵第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(n,k)循环码的监督矩阵对偶问题如果xn+1=h(x)g(x)，其中g(x)为(n－k)

次多项式，以g(x)为生成多项式，则生成一个(n,k)循环码；以h(x)为生成多项式，则生成(n,n－k)循环码；这两个循环码互为对偶码。第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期六线性码的译码是根据接收字多项式的伴随式和可纠的错误图样间的一一对应关系，由伴随式得到错误图样；循环码是线性码的一个特殊子类，循环码的译码与线性码的译码步骤基本一致。不过由于循环码的循环特性，使它的译码更加简单易行；循环码的译码过程仍包括三个步骤：接收多项式的伴随式计算；求伴随式对应的错误图样；用错误图样纠错。6.3.6循环码的译码第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(1)根据伴随式定义ST=HRT计算伴随式S设设第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期六这是前面介绍过的由接收矢量相应分量直接求和计算伴随式的方法，对所有线性码都适用。第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期六第二十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(4)接收字循环移位的伴随式与伴随式循环移位的关系定理6.3.7：设S(x)为接收矢量R(x)的伴随式，则R(x)的循环移位xR(x)(mod(xn+1))