湖南省长沙市地质中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省长沙市地质中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设A、B是两个集合，定义M*N＝{x|x∈M且x?N}．若M＝{y|y＝log2(－x2－2x＋3)}，N＝{y|y＝，x∈[0,9]}，则M*N＝()A．(－∞，0]

B．(－∞，0)C．[0,2]

D．(－∞，0)∪(2,3]参考答案：B2.设等差数列的前项和为，若，则(

)A．

B．

C.

D．参考答案：D3.设,“”是“复数是纯虚数”的

（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B4.若向量=（1，2），=（–1，3），则两向量所成的夹角为（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：B略5.设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为(

)

A.2 B. C.1 D.参考答案：【知识点】向量的模的计算；二次函数的最值

F3

B5【答案解析】D

解析：由已知得：，，当时，有最小值，故选：D【思路点拨】由已知结合向量的模长计算公式、性质对进行化简，可得出，代入中，则，再利用配方法求其最值即可。6.若函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A．（0，2） B．[，2） C．（0，] D．[2，+∞）参考答案：B【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】根据x∈[﹣，]求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．【解答】解：函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，∴ωx的取值范围是[﹣ω，ω]；∴﹣ω≤﹣且ω＜，解得≤ω＜2，∴ω的取值范围是[，2）．故选：B．7.已知且，函数在同一坐标系中的图象可能是（）

参考答案：C略8.已知i为虚数单位，复数z满足(1+i)=i，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由，得，∴z=．故选：D．9.，则（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

参考答案：A略10.已知等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.底面边长为a正四棱锥S—ABCD内接于球O，过球心O的一个截面如图，则球O的表面积为

；A、B的球面距离为

参考答案：、12.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数在处取得最值的概率是

.参考答案：13.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

.参考答案：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是.

14.已知直线交抛物线于A，B两点，若该抛物线上存在点C使得为直角，则a的取值范围为____________.参考答案：15.点A、B、C、D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为．参考答案：9π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三棱锥的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为×S△ABC×DQ=，S△ABC=AC?BQ==2．，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=，则这个球的表面积为：S=4π（）2=9π；故答案为：9π【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．属于中档题．16.已知且，则复数对应点在第二象限的概率为（用最简分数表示）参考答案：

17.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为

。

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．参考答案：略19.（本小题满分16分）已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．参考答案：解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

…2分因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……4分经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①

……………6分所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③

………………8分所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，

………10分因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝

…12分要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列．

………………16分20.如图，过椭圆：的右焦点作直线交椭圆于两点．（1）当变化时，在轴上求点，使得；（2）当直线交椭圆的另一交点为，连接并延长交椭圆于点，当四边形的面积取得最大值时，求直线的方程．参考答案：（1）;（2）.（2）由（1）可得四边形是一个等腰梯形，四边形的面积，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得面积关于的函数关系式，最后利用导数求最值，并确定取最值时直线的方程．试题解析：（1）设，，当不在轴上时，设直线的方程为，代入椭圆的方程可得：.则，，由题知，即，由题知无论取何值，上式恒成立，则，当在轴上时定点依然可使成立，所以点的坐标是.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上．（1）证明：AA1⊥面ABCD．（2）当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理可得：A1A⊥AB；A1A⊥AD．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．（II）①当=1时，A1B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．利用三角形中位线定理可得：A1B∥OE，再利用线面平行的判定定理即可证明A1B∥平面EAC．②由OE是△A1BD的中位线，可得求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离．利用VE﹣ACD=VD﹣ACE，即=，解出即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1=2，A1B=A1D=2，∴=8=，可得∠A1AB=90°，∴A1A⊥AB；同理可得：A1A⊥AD．又AB∩AD=A，∴AA1⊥面ABCD．（II）①当=1时，A1B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．连接OE，则OE是△A1BD的中位线，∴A1B∥OE．又A1B?平面EAC，OE?平面EAC，∴A1B∥平面EAC．②∵OE是△A1BD的中位线，∴求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离．点E到平面ACD的距h=AA1=1．S△ACD==．EC==2=AC，AE=．∴S△ACE==．∵VE﹣ACD=VD﹣ACE，∴=，∴d==．22.已知实数满足.(Ⅰ)若直线与曲线:相交于两点，是坐标原点，且，若直线的斜率为，求曲线的离心率；(Ⅱ)