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2021年河北省衡水市第六中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的面积之和是()A.3πa2 B.4πa2 C.5πa2 D.6πa2参考答案:C【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】根据相似三角形求出上底面半径和a的关系,再计算两底面积之和.【解答】解:设圆台的母线AA′与圆台的轴OO′交于点S,则∠ASO=30°,设圆台的上底面半径为r,则SA′=2r,OA=2r,SA=4r,∴AA′=SA﹣SA′=4r﹣2r=2r=2a,∴r=a,∴圆台的上下底面积S=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2.故选C.2.当时,函数和函数的图象可能是(
)
参考答案:C由题意得,对与选项D中,根据直线过一、二、四象限可知,,所以是单调递增函数,故选D。3.函数y=的单调递减区间是()A.(﹣∞,﹣3] B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[﹣1,+∞)参考答案:A【考点】函数的单调性及单调区间.【分析】根据题意,令t=x2+2x﹣3,先求函数y=的定义域,又由二次函数的性质,可得当x≤﹣3时,t=x2+2x﹣3为减函数,当x≥1时,t=x2+2x﹣3为增函数,进而可得函数y=的单调递减区间为(﹣∞,﹣3],分析选项可得答案.【解答】解:令t=x2+2x﹣3,对于函数y=,有x2+2x﹣3≥0,解可得x≤﹣3或x≥1,即其定义域为{x|x≤﹣3或x≥1}又由二次函数的性质,可得当x≤﹣3时,t=x2+2x﹣3为减函数,当x≥1时,t=x2+2x﹣3为增函数,即当x≤﹣3时,函数y=的单调递减,即函数y=的单调递减区间为(﹣∞,﹣3],分析选项,可得A在(﹣∞,﹣3]中,故选A.4.在△ABC中,一定成立的等式是()
A.
B.
C.
D.参考答案:C5.已知扇形的半径为2cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为()A.4cm2
B.6cm2
C.8cm2
D.16cm2参考答案:A略6.f(x)=是定义在(﹣∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是()A.[,) B.[0,] C.(0,) D.(﹣∞,]参考答案:A【考点】函数单调性的性质.【分析】由题意可得3a﹣1<0、﹣a<0、且﹣a≤3a﹣1+4a,解由这几个不等式组成的不等式组,求得a的范围.【解答】解:由题意可得,求得≤a<,故选:A.7.三个数的大小关系为(
)A.
B.C.
D.参考答案:D略8.某个货场有2005辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装9箱货物,每相邻的4辆车装的货物总数为34箱,为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是 (
)
A.17043
B.17044
C.17045
D.17046参考答案:A
提示:设第辆车装货物箱,由题意得:,…实际象以4为周期的数列,答案为9.已知集合,,则(
). A. B. C. D.参考答案:D∵,或,∴,故选.10.若0<b<1<a,则下列不等式成立的是()A.ab2<ab<aB.a<ab<ab2C.ab2<a<abD.a<ab2<ab参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知奇函数f(x),当x>0时f(x)=x+,则f(﹣1)=
.参考答案:-2【考点】函数奇偶性的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】由于f(x)是奇函数,可得f(﹣x)=﹣f(x),据此可求出f(﹣1).【解答】解:∵当x>0时f(x)=x+,∴f(1)=1+1=2,又∵函数f(x)是奇函数,∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2.故答案是﹣2.【点评】本题考查了奇函数的应用,正确理解奇函数的定义是解决问题的关键.12.已知,则实数的取值范围为
.参考答案:略13.不等式的解集
.参考答案:14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且,,时,,则{an}的通项公式an=
.参考答案:由得,是公差为2的等差数列,又,,,又,,,,所以,累加法得时,,又,所以.
15.已知数列{an}满足,则数列的最大值为________.参考答案:【分析】由递推关系式可得,进而求得数列的通项公式,令,利用数列的单调性即可求得数列的最值.【详解】数列满足,则,,故数列是首项为2,公比q=2的等比数列,可得,即,则,令,则当时,,当时,即,所以当n=6时取得最大值为,故答案为:【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式、数列中最值问题的处理方法等知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.16.已知若,则
.参考答案:17.设集合U={(x,y)|y=3x-1},A={(x,y)|=3},则A=
.参考答案:{(1,2)}三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(12分)若0≤x≤2,求函数y=的最大值和最小值.参考答案:考点: 复合函数的单调性.专题: 函数的性质及应用.分析: y=﹣3×2x+5=(2x)2﹣3×2x+5,令2x=t,转化为关于t的二次函数,在t的范围内即可求出最值.解答: y=﹣3×2x+5=(2x)2﹣3×2x+5令2x=t,则y=t2﹣3t+5=+,因为x∈[0,2],所以1≤t≤4,所以当t=3时,ymin=,当t=1时,ymax=.所以函数的最大值为,最小值为.点评: 本题考查有理数指数幂的运算及二次函数的最值问题,本题运用了转化思想.19.如图所示,在△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC上,设AB=,∠ABC(1)求△ABC的面积与正方形面积;(2)当变化时,求的最小值。
参考答案:解:(1)由题得:∴
设正方形的边长为,则,由几何关系知:
∴
由
∴(2)
令:
∵∴
∴
∵函数在递减∴(当且仅当即时成立)答:
当
时成立
20.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,求:(1)异面直线BD与AB1所成的角的大小;(2)四面体AB1C1D1的体积.参考答案:(1)60度;(2).21.设等差数列的前n项和为,且满足条件(1)求数列的通项公式;(2)令,若对任意正整数,恒成立,求的取值范围.参考答案:(1)设则解得:
∴(2)∵
∴
∴为递减数列
∴
∵恒成立
∴
∴
∴
解得:或22.设函数y=f(x)的定义域为D,值域为A,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f[g(t)]的值域仍是A,那么称x=g(t)是函数y=f(x)的一个等值域变换.(1)判断下列函数x=g(t)是不是函数y=f(x)的一个等值域变换?说明你的理由;①f(x)=log2x,x>0,x=g(t)=t+,t>0;②f(x)=x2﹣x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R.(2)设f(x)=log2x的定义域为x∈[2,8],已知x=g(t)=是y=f(x)的一个等值域变换,且函数y=f[g(t)]的定义域为R,求实数m、n的值.参考答案:【考点】函数与方程的综合运用.【分析】(1)在①中,函数y=f(x)的值域为R,函数y=f[g(t)]的值域是(0,+∞);在②中,f(x)的值域为,y=f[g(t)]的值域仍为.(2)由已知得的值域为[2,8],,由此能求出实数m、n的值.【解答】解:(1)在①中,∵,∴函数y=f(x)的值域为R,函数y=f[g
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