考研数学二(导数与微分)模拟试卷2

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(总分：66.00，做题时光：90分钟)

一、挑选题(总题数：10，分数：20.00)

1.挑选题下列每题给出的四个选项中，惟独一个选项符合题目要求。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________解析：

2.设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f″′(χ0)＞0，则下列正确的是()．

（分数：2.00）

A.f′(χ0)是f′(χ)的极大值

B.f(χ0)是f(χ)的极大值

C.f(χ0)是f(χ)的微小值

D.(χ0，f(χ0))是y＝f(χ)的拐点√

解析：解析：由于f″′(χ0)＞0，所以存在δ＞0，当0＜｜χ－χ0｜＜δ时，0，从而当χ∈(χ0－δ，χ0)时，f〞(χ)＜0；当χ∈(χ0，χ0＋δ)时，f〞(χ)＞0，即(χ0，f(χ0))是y＝f(χ)的拐点，选D．

3.设f(χ)＝χ3＋aχ2＋bχ在χ＝1处有微小值－2，则()．

（分数：2.00）

A.a＝1，b＝2

B.a＝－1，b＝－2

C.a＝0，b＝－3√

D.a＝0，b＝3

解析：解析：f′(χ)＝3χ2＋2aχ＋b，由于f(χ)在χ＝1处有微小值－2，所以a＝0，b＝－3，选C．

4.设f(χ)＝｜χ3－1｜g(χ)，其中g(χ)延续，则g(1)＝0是f(χ)在χ＝1处可导的()．

（分数：2.00）

A.充分条件

B.须要条件

C.充分须要条件√

D.非充分非须要条件

解析：解析：设g(1)＝0，f′-(1)＝＝0，f′+＝(χ2＋χ＋1)g(χ)＝0，由于f′

-(1)＝f′+(1)＝0，所以f(χ)在χ＝1处可导．设f(χ)在χ＝1处可导，由于f′-(1)＝f′+(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(1)＝0为f(χ)在χ＝1处可导，应选C．

5.设f(χ)延续，且F(χ)，则F′(χ)＝()．

（分数：2.00）

√

B.f(lnχ)＋

D.f(lnχ)－

解析：解析：F′(χ)＝f(lnχ).(lnχ故应选A．

6.当χ∈[0，1]时，f〞(χ)＞0，则f′(0)，f′(1)，f(1)－f(0)的大小次序为()．

（分数：2.00）

A.f′(0)＞f(1)一f(0)＞f′(1)

B.f′(0)＜f′(1)＜f(1)－f(0)

C.f′(0)＞f′(1)＞f(1)－f(0)

D.f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)√

解析：解析：由拉格朗日中值定理得f(1)－f(0)＝f′(c)(0＜c＜1)，由于f〞(χ)＞0，所以f′(χ)单调增强，故f′(0)＜f′(c)＜f′(1)，即f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)，应选D．

7.设f(χ)在[0，＋∞)上延续，在(0，＋∞)内可导，则()．

（分数：2.00）

A.若f(χ)＝0f′(χ)＝0

B.若f′(χ)＝0χ)＝0

C.若f(χ)χ)＝＋∞

D.若f′(χ)＝A＞0χ)＝＋∞√

解析：

8.设f(χ)，g(χ)(a＜χ＜b)为大于零的可导函数，且f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)＜0，则当a＜χ＜b时，有()．

（分数：2.00）

A.f(χ)g(χ)＞f(b)g(χ)√

B.f(χ)g(a)＞f(a)g(χ)

C.f(χ)g(χ)＞f(b)g(b)

D.f(χ)gχ)＞f(a)g(a)

解析：解析：由f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)＜0得从而为单调减函数．由a＜χ＜b

f(χ)g(b)＞f(b)g(χ)，应选A．

9.设f(χ)在χ＝02，则f(χ)在χ＝0处()．

（分数：2.00）

A.不行导

B.可导但f′(0)≠0

C.取极大值

D.取微小值√

解析：解析：由＝2得f(0)＝0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ0，从而f(χ)＞0＝f(0)，由极值的定义得f(0)为微小值，应选D．

10.设f(χ)延续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．

（分数：2.00）

A.f(χ)在(0，δ)内单调增强

B.f(χ)在(－δ，0)内单调削减

C.对随意的χ∈(－δ，0)，有f(χ)＞f(0)

D.对随意的χ∈(0，δ)，有f(χ)＞f(0)√

解析：解析：由于f′(0)＝＞0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ

＞0，当χ∈(－δ，0)时，f(χ)＜f(0)；当χ∈(0，δ)时，f(χ)＞f(0)，应选D．

二、填空题(总题数：9，分数：18.00)

11.设f(χ)二阶延续可导，且＝1，f〞(0)＝e1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：由＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1

12.设f(u)可导，y＝f(χ2)在χ0＝－1处取得增量△χ＝0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f′(1)＝1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：由dy＝2χf′(χ2)△χ得dy｜χ＝－1＝－2f′(1)×0．05＝－0．1f′(1)，由于△y的线性部分为dy，由－0．1f′(1)＝0．15得f′(1)＝－．

13.设y＝，则1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）

14.1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）

15.设函数y＝y(χ)由方程eχ＋y＋cos(χy)＝0确定，则1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：方程两边对χ

16.设f(χ)＝f(n)(χ)＝1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：令f(χ)＝解得A＝3，B＝－2

17.设f(χ)＝ln(2χ－χ－1)，则f(n)(χ)＝1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：(－1)n-1(n－

解析：解析：f(χ)＝ln[2χ＋1)(χ－1]＝ln(2χ＋1)＋ln(χ－1)

18.设φ(χ)χ－t)f(t)dt，其中f延续，则φ〞(χ)＝1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：＋4χ2f(χ2)）

解析：解析：φ(χ)＝χ2f(t)dt－tf(t)dt,φ′(χ)＝2χf(t)dt＋2χ3f(χ2)－2χ3f(χ2)＝2χf(t)dtφ〞(χ)＝f(t)dt＋4χ2f(χ2)．

19.设f(χ)χ－t)dt＝1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：正确答案：f(χ)）

解析：解析：∫0χtf(χ－t)dt∫χ0(χ－u)f(u)(－du)＝∫0χ(χ－u)f(u)duχ∫0χf(u)du

－∫0χuf(u)du于是tf(χ－t)dt＝∫0χf(u)du，故tf(χ－t)dt＝f(χ)．

三、解答题(总题数：14，分数：28.00)

20.解答题解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________解析：

21.设f(χ)a，b，并求f′(χ)．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由f(χ)在χ＝0处延续，得b＝0．由f(χ)在χ＝0处可导，得a＝2，)解析：

22.设对一切的χ，有f(χ＋1)＝2f(χ)，且当χ∈[0，1]时f(χ)＝χ(χ2－1)，研究函数f(χ)在χ＝0处的可导性．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：当χ∈[－1，0]时，f(χ)＝f(χ＋1)＝(χ＋1)(χ2＋2χ)，

由于f′-(0)≠f′+(0)，所以f(χ)在χ＝0处不行导．)

解析：

23.设f(χ)f′(χ)并研究其延续性．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当χ＞0时，f′(χ)＝，当χ＜0时，f′(χ)＝cosχ，由得f′(0)

＝1，则简单验证＝1＝f′(0)，所以f′(χ)延续．)

解析：

24.设＝∫0χcos(χ－t)2dt确定y为χ的函数，求

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：∫0χcos(χ－t)2dt∫χ0cosu2(－du)＝∫0χcost2dt，等式

＝∫0χcost2dt两边对χ求导，得＝cosχ2，于是)

解析：

25.设f(χ)二阶可导，f(0)＝0，令g(χ)求g′(χ)；(2)研究g′(χ)在χ＝0处的延续性．（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)由于＝f′(0)＝g(0)，所以g(χ)在χ＝0处延续．当χ≠0时，g′(χ)

＝；当χ＝0时，由得g′(0)＝f〞(0)所以g′(χ)在χ＝0处延续．)解析：

26.设f(χ)f′(χ)．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当｜χ｜＜1时，f′(χ)＝；当χ＜－1时，f′(χ)＝－1；当χ＞1时，f′(χ)＝1；则f(χ)在χ＝－1处不延续，故也不行导．由f(1＋0)＝f(1－0)＝f(1)＝0得f(χ)

在χ＝1处延续．由于所以f(χ)在χ＝1)

解析：

27.求常数a，b使得f(χ)χ＝0处可导．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于f(χ)在χ＝0处可导，所以f(χ)在χ＝0处延续，从而有f(0＋0)＝2a＝

f(0)＝f(0－0)＝3b，由f(χ)在χ＝0处可导，则3＋2a＝10＋6b，解得a＝－，b．)解析：

28.设f(χ)f′(χ)并研究f′(χ)在χ＝0处的延续性．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：当χ≠0时，f′(χ)＝当χ＝0时，所以f′(χ)在χ＝0处延续．)解析：

29.求下列导数：(1)设y＝，求．(2)设y＝(1＋χ2)tanχ，求

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

30.求下列导数：(1)设y＝y(χ)由确定，求(2)设y＝y(χ)由确定，求

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：ln(χ＋t)＝χt一1两边对t求导得eχy＝y＋1两边对t求导得，

)

解析：

31.设f(χ)f′(0)存在，求a，b．

（分数：