重庆长寿区龙河镇中学2022年高三数学理期末试题含解析

重庆长寿区龙河镇中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线C：mx2+y2=1的离心率为2k（k＞0），其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，则m的值为（）A．﹣ B． C．﹣3 D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线C：mx2+y2=1可化为y2﹣=1，利用双曲线C：mx2+y2=1的离心率为2k（k＞0），其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，建立方程，即可求出m的值．【解答】解：双曲线C：mx2+y2=1可化为y2﹣=1，∴a=1，b=，c=，∵双曲线C：mx2+y2=1的离心率为2k（k＞0），其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，∴=2，∴m=﹣3．故选：C．2.对某地区30万小学毕业生进行综合测试，测试结果服从正态分布N（100，152）．若以成绩在130以上作为“优秀生”的选拔标准，根据这次测试的结果给定下列五个判断：①约有5%的学生被选拔为“优秀生”；②约有15万名学生的成绩在100以上；③超过20万名学生的成绩介于85至115之间；④随机抽出1000名学生可期望有23名“优秀生”；⑤若某偏远山区学校只有4名小学毕业生·那么该校不会有“优秀生”

则下列选项正确的是A．①②③

B．②③④

C．③④⑤

D．①②④参考答案：B3.设则

(

)（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B4.函数的零点个数为（

）（A）0

（B）1

（C）2

（D）3参考答案：C5.设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为：?n∈N，2n≤2n．故选：C．6.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：【知识点】程序框图.L1【答案解析】C

解析：k=0时，；k=1时，；k=2时，；k=3时，；k=4时，；故选C.【思路点拨】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，满足条件进入循环体，不满足条件算法结束．7.如图，双曲线的中心在坐标原点O，M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点，A是双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，直线AM与FN相交于点P，若∠APF是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1+，+∞） C．（0，） D．（，+∞）参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1，求出点P的坐标，再根据∠APF是锐角，则＜0，得到b2＜ac，继而得到e2﹣e﹣1＜0，解得即可．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1，由题意可得A（a，0），F（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），故直线AF的方程为y+b=x，直线NF的方程为y﹣b=﹣x，联立方程组，解得x=，y=，即P（，），∴=（，），=（，），∵∠APF是锐角，∴=?+?＜0，∴b2＜ac，∴c2﹣a2＜ac∴e﹣＜1，即e2﹣e﹣1＜0，解得e＞，e＜（舍去），故选：A8.已知=2+i,则复数Z＝（

）

A.1＋3i

B.1－3i

C.3＋i

D.3－i参考答案：B略9.已知等比数列的前项和为，若，，则（

）A． B．126 C．147 D．511参考答案：C①，②，得，所以，

故选C

10.设向量=（，1），=（2，1），则|﹣|2=（）A．B． C．2 D．参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：=．∴|﹣|2=．故选：A．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，，则角A的大小为____．参考答案：【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出的形式，进而求得结果.【详解】由正弦定理得：，即则本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.12.对任意的实数b，直线y＝－x＋b都不是曲线y＝x3－3ax的切线，则实数的取值范围是________．参考答案：(－∞,) 13.若是双曲线：和圆：的一个交点，且其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率的为____.参考答案：略14.在中，角的对边分别为，已知，则

．参考答案：15.已知则的值等于____________．参考答案：略16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．参考答案：8π如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.

17.已知向量，若参考答案：【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示．F2

解析：∵，∴，由，得．解得：．故答案为：．【思路点拨】由向量的坐标加法运算求得的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求解的值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．（1）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．参考答案：（1）、、成等差，且公差为2，、.又，，，

，恒等变形得，解得或.又，.

（2）在中，，，，.

的周长，又，,

当即时，取得最大值．19.已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（一2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，=12．（I）求抛物线的方程；（Ⅱ）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．参考答案：解：（Ⅰ）设l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy+4p=0．（?）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则x1x2==4．∵?=12，∴x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，得p=2，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化为y2﹣4my+8=0．y1+y2=4m，y1y2=8．设AB的中点为M，则|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，①又|AB|=|y1﹣y2|=，②由①②得（1+m2）（16m2﹣32）=（4m2﹣4）2，解得m2=3，m=±．∴直线l的方程为x+y+2=0，或x﹣y+2=0．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得根与系数的关系，再利用?=12，可得x1x2+y1y2=12，代入即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化为y2﹣4my+8=0．设AB的中点为M，可得|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，又|AB|=|y1﹣y2|=，联立解出m即可得出．解答：解：（Ⅰ）设l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy+4p=0．（?）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则x1x2==4．∵?=12，∴x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，得p=2，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化为y2﹣4my+8=0．y1+y2=4m，y1y2=8．设AB的中点为M，则|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，①又|AB|=|y1﹣y2|=，②由①②得（1+m2）（16m2﹣32）=（4m2﹣4）2，解得m2=3，m=±．∴直线l的方程为x+y+2=0，或x﹣y+2=0．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式、弦长公式、直线与圆相切的性质、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）在这18个数据中随机抽取3个数据，用表示其中不超标数据的个数，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量为二级．参考答案：（Ⅰ）概率……3分（Ⅱ）由题意，服从超几何分布：其中,,，的可能取值为0、1、2、3.由，得，，，……6分所以的分布列为：0123得期望或用公式……9分（Ⅲ）由题意，一年中空气质量为二级的概率，，所以一年（按360天计算）中约有120天的空气质量为二级……12分21.

命题：实数满足（其中）；命题：实数满足.（Ⅰ）若，且p∧q为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数