概率论与数理统计第三章

概率论与数理统计课程代码：04183教材版本：概率论与数理统计（经管类）课程代码：04183出版社：北京大学出版社（2018年版）主编：柳金甫张志刚课程教材1.三个学习过程：稳、准、快2.勤于动手，一定多做练习！！！3.数学学习需要思考！！！4.随堂考课后作业是每节课核心，一定按时完成。学习方法第三章多维随机变量及其概率分布多维随机变量的概念两个随机变量的函数的分布知识框架随机变量的独立性第三章多维随机变量及其概率分布两个随机变量的函数的分布知识框架随机变量的独立性多维随机变量的概念二维离散型随机变量二维随机变量及其分布函数二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度什么是二元函数？设平面点集D包含于XOY平面内,若按照某对应法则f，D中每一点P(x,y)都有唯一的实数Z与之对应,则称f为在D上的二元函数。记作：Z=f（x,y）3.1多维随机变量的概念设(X,Y)为一个二维随机变量，记F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,称二元函数F(x,y)为X与Y的联合分布函数或称为(X,Y)的分布函数.一维连续型随机变量X的可能取值为某个或某些区间，甚至是整个数轴.二维随机变量(X,Y)的可能取值范围则为XOY平面上的某个或某些区域，甚至为整个平面。多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1.1一、二维随机变量及其分布函数3.1多维随机变量的概念F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1多维随机变量的概念3.1.1一、二维随机变量及其分布函数分布函数F

(x,

y)具有下列性质多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1多维随机变量的概念3.1.1一、二维随机变量及其分布函数分布函数F

(x,

y)具有下列性质多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1多维随机变量的概念3.1.1一、二维随机变量及其分布函数课堂练习1.设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(x,y)，则F(+∞,＋∞)=___多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习1.设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(x,y)，则F(+∞,＋∞)=1多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习2.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习2.F(0,0)多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度（X,Y）的两个分量与各自的分布函数分别称为二维随机变量(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数，记为FX(x)与FY(y).

边缘分布函数可由联合分布函数确定：边缘分布函数：FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x，Y<+∞}=F(x,+∞)FY(y)=P{Y≤y}=P{X＜+∞，Y≤y}=F(+∞，y)二维随机变量(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数,记为FX(x)与FY(y).重点多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1多维随机变量的概念3.1.1一、二维随机变量及其分布函数

称P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)为(X,Y

)的分布律.二维离散型随机变量：3.1多维随机变量的概念3.1.2二、二维离散型随机变量多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度回顾分布律{PK}的性质：(1)0≤PK

≤1；(2)P1+P2+…+PK

+

…=1.3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度(X,Y)

的分布律具有下列性质:(1)0

≤

Pij

≤1(i,j=1,2,…

)

;(2)反之,若数集{pij}(i,j=1,2,…)具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.(X,Y)的分布律的性质：3.1多维随机变量的概念3.1.2二、二维离散型随机变量多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度(X,Y)

的分布律还可以写成如下列表形式：YX……………………………………………3.1多维随机变量的概念3.1.2二、二维离散型随机变量多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习3.设二维随机变量（X,Y）的分布律为①A的值为？②P{X=Y}=?③P{X+Y≤2}=？④P{X=1}=?YX0.25A多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习3.设二维随机变量（X,Y）的分布律为①A的值为0.3②P{X=Y}=0.5③P{X+Y≤2}=0.3④P{X=1}=0.55YX0.25A多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度对于离散型随机变量(X,Y)，分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律，记为

pi.(i=1,2,…)(或p.j

(j=1,2,…))，它可由(X,Y)的分布律求出.边缘分布律：3.1多维随机变量的概念3.1.2二、二维离散型随机变量多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度

二维的F

和f：3.1多维随机变量的概念3.1.3三、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度概率密度函数

f(x,y)的性质：若f(x,y)在(x,

y)处连续，则有3.1多维随机变量的概念3.1.3三、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度如果已知(X,Y)的概率密度函数

f(x,y)，则(X,Y)在区域D内的取值的概率为：随机点(X,Y)落在平面区域D上的概率等于一平面区域D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积。3.1多维随机变量的概念3.1.3三、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度二重积分方法：对x求积分，把y当常量;对y求积分，把x当常量。先积分x，x的积分上下限由积分区域左右边界函数确定，y的积分上下限由积分区域y的最小/大值确定。先积分y，y的积分上下限由积分区域上下边界函数确定，x的积分上下限由积分区域x的最小/大值确定。3.1多维随机变量的概念课堂练习1.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习1.答案：多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习2.答案：A.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习3.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习回顾三种重要的概率密度分布及分布函数均匀分布X

~

U

(a,b)指数分布X~E(λ)正态分布X~N(,

2)重点二维连续随机变量的均匀分布与二维正态分布设D为平面上的有界区域,其面积为S且S＞0,如果二维随机变量(

X

,Y

)的概率密度为则称(

X

,Y

)服从区域D上的均匀分布(或称(

X,Y)在D上服从均匀分布)记作(

X,Y)~

UD.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1.3三、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度3.1多维随机变量的概念(1)D为矩形区域，a≤x≤b,

c≤y≤d.

此时(2)D为圆形区域，如X,Y在以原点为圆心、R为半径的圆域上服从均匀分布，则（X,Y）的概率密度为3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习1.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习1.

多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度连续型随机变量(X

,Y)的边缘分布

超级重要公式多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1.3三、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度3.1多维随机变量的概念课堂练习1.设(

X

,Y

)在矩形域D上服从均匀分布,

其中D

:

x2

y,

0

x

1,

y

0,求(

X

,Y

)的边缘概率密度f

X

(x),

fY

(

y).多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习1.设(

X

,Y

)在矩形域D上服从均匀分布,

其中D

:

x2

y,

0

x

1,

y

0,求(

X

,Y

)的边缘概率密度f

X

(x),

fY

(

y).3dx=多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度求谁不积谁，不积先定限；限内画条线，先交写下限，后交写上限。课堂练习1.设(

X

,Y

)在矩形域D上服从均匀分布,

其中D

:

x2

y,

0

x

1,

y

0,求(

X

,Y

)的边缘概率密度f

X

(x),

fY

(

y).3dx=多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习2.设(X,Y)服从D上的均匀分布,其中D为x轴、y轴与y=2x+1围成的三角形区域,求(X,Y)的边缘概率密度。解

(

X

,Y

)的概率密度为:多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习2.设(X,Y)服从D上的均匀分布,其中D为x轴、y轴与y=2x+1围成的三角形区域,求(X,Y)的边缘概率密度。解

(

X

,Y

)的概率密度为:求谁不积谁，不积先定限；限内画条线，先交写下限，后交写上限。多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习2.设(X,Y)服从D上的均匀分布,其中D为x轴、y轴与y=2x+1围成的三角形区域,求(X,Y)的边缘概率密度。求谁不积谁，不积先定限；限内画条线，先交写下限，后交写上限。多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习求谁不积谁，不积先定限；限内画条线，先交写下限，后交写上限。思考问题：为什么先积分y,如果先积分x可以吗?3.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习求谁不积谁，不积先定限；限内画条线，先交写下限，后交写上限。思考问题：为什么先积分y,如果先积分x可以吗?3.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度二维连续随机变量的均匀分布与二维正态分布

多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度3.1多维随机变量的概念课堂练习1.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度课堂练习1.多维随机变量的概念二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量概率密度和边缘概率密度第三章多维随机变量及其概率分布两个随机变量的函数的分布知识框架多维随机变量的概念二维离散型随机变量二维随机变量及其分布函数二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性3.2随机变量的独立性回忆：两个事件相互独立的定义若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,

简称A,B独立。随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立3.2.1一、两个随机变量的独立性设F

(x,

y),

FX

(x)和FY

(

y)分别是二维随机变量(

X

,Y

)的分布函数和两个边缘分布函数.若对任意实数x,y,

有F

(x,

y)＝FX

(x)FY

(

y),则称X

与Y相互独立.其等价于对任意实数x,y,

有P{X

x,Y

y}

P{X

x}P{Y

y}.3.2随机变量的独立性随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立3.2.1一、两个随机变量的独立性课堂练习1.设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的泊松分布，则P{X=1,Y=2}=____________随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立课堂练习1.设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的泊松分布，则P{X=1,Y=2}=____________随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立3.2随机变量的独立性3.2.2二、二维离散型随机变量的独立性随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立3.2随机变量的独立性3.2.2二、二维离散型随机变量的独立性课堂练习YXP.j1随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立课堂练习3.设二维随机变量（X,Y）的分布律为①A的值为0.3②P{X=Y}=0.5③P{X+Y≤2}=0.3④P{X=1}=0.55YX0.250.55A0.45P.j0.10.350.551随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立课堂练习设(X,Y)的分布律为:YX1211/9a21/61/331/18b且X与Y相互独立，求常数a，b的值。随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立课堂练习随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立课堂练习随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立课堂练习随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立3.2随机变量的独立性随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立3.2.3三、二维连续型随机变量的独立性题目练习设X与Y为互相独立的随机变量，X在[-1,1]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，1）求（X,Y）的概率密度。2)P{X≤1，Y≤2}3.2.3三、二维连续型随机变量的独立性随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立题目练习设X与Y为互相独立的随机变量，X在[-1,1]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，1）求（X,Y）的概率密度。2)P{X≤1，Y≤2}随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立题目练习设X与Y为互相独立的随机变量，X在[0,1]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，1）求（X,Y）的概率密度。2)P{X≤1，Y≤2}

随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立题目练习设二维随机变量（X,Y）的概率密度为：f（x，y）=cx,0<x<1,0<y<10,其他1）求常数C；2）求（X，Y)分别关于X，Y的边缘概率密度；3）试问X与Y是否相互独立，为什么?随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立题目练习

随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维离散随机变量独立性二维连续随机变量独立性n个随机变量的相互独立第三章多维随机变量及其概率分布知识框架多维随机变量的概念二维离散型随机变量二维随机变量及其分布函数二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性两个随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布两个独立连续型随机变量之和的概率分布3.3两个随机变量函数的分布设(X,