演示文稿概率论第八讲二维离散随机变量的概率分布

（优选）概率论第八讲二维离散随机变量的概率分布当前第1页\共有41页\编于星期二\11点多维分布当前第2页\共有41页\编于星期二\11点在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个以上的r.v.来描述.例如用温度和风力来描述天气情况.

通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究需考虑多维r.v.及其取值规律—多维分布.钢的成分.要研究这些r.v.之间的联系,就当前第3页\共有41页\编于星期二\11点二维随机变量及其分布定义

设为随机试验的样本空间，则称(X,Y)为二维r.v.或二维随机向量讨论：二维r.v.作为一个整体的概率特性其中每一个r.v.的概率特性与整体的概率特性之间的关系§3.1当前第4页\共有41页\编于星期二\11点定义若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型r.v.要描述二维离散型r.v.的概率特性及其与每个r.v.之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布二维离散型r.v.及其概率特性离散当前第5页\共有41页\编于星期二\11点解析表示法设(X,Y)的所有可能的取值为则称为二维r.v.(X,Y)的联合概率分布也简称概率分布或分布律性质:联合分布律当前第6页\共有41页\编于星期二\11点x1xi

XY

(X,Y)的联合分布律表y1yj当前第7页\共有41页\编于星期二\11点二维离散r.v.的边缘分布律由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.当前第8页\共有41页\编于星期二\11点1x1xi

pi•p1•pi•p•jp•1p•jyjy1XY

联合分布律及边缘分布律当前第9页\共有41页\编于星期二\11点的求法⑴利用古典概型直接求；⑵利用乘法公式当前第10页\共有41页\编于星期二\11点例1

某校新选出的学生会6名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定2人为学生会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.解

X与Y的可能取值分别为0,1与0,1,2.求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.例3由乘法公式当前第11页\共有41页\编于星期二\11点或由古典概型相仿有当前第12页\共有41页\编于星期二\11点故联合分布律与边缘分布律为010123/156/151/153/152/150XY

pi•p•j1/32/316/158/151/15当前第13页\共有41页\编于星期二\11点例2

二元两点分布XYpijp•jpi•1010p00qpqpq1p+q=1，0<p<1例4当前第14页\共有41页\编于星期二\11点例3设

X的分布为求(X,Y)的联合分布律及边缘分布.当前第15页\共有41页\编于星期二\11点(X,Y)的联合分布律及边缘分布为XYpij01-110000p•jpi•当前第16页\共有41页\编于星期二\11点二维随机变量的联合分布函数定义设(X,Y)为二维r.v.对任何一对定义了一个二元实函数F(x,y)，称为二维r.v.(X,Y)的分布函数，即(记为)的概率实数(x,y),事件当前第17页\共有41页\编于星期二\11点分布函数的几何意义如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率.(x,y)xy当前第18页\共有41页\编于星期二\11点联合分布函数的性质xy(x,y)xy①F性质当前第19页\共有41页\编于星期二\11点xyxy当前第20页\共有41页\编于星期二\11点固定x,对任意的y1<y2,固定y,对任意的x1<x2,F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)对每个变量单调不减②对每个变量右连续③F(x,y1)F(x,y2)F(x1,y)F(x2,y)当前第21页\共有41页\编于星期二\11点F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事实上对于任意a<b,c<d

④–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)F(b,d)abcd当前第22页\共有41页\编于星期二\11点注意对于二维r.v.xyac(a,c)(a,+)(+,+)(+,c)当前第23页\共有41页\编于星期二\11点二维离散r.v.的联合分布函数已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之,由分布函数也可求出其联合分布律当前第24页\共有41页\编于星期二\11点例4设讨论F(x,y)能否成为二维r.v.的分布函数？解xyx+y=1•(0,0)•(2,0)•(2,2)•(0,2)故F(x,y)不能作为某二维r.v.的分布函数.例1当前第25页\共有41页\编于星期二\11点二维随机变量的边缘分布函数xyxxyy由联合分布函数边缘分布函数,逆不真.当前第26页\共有41页\编于星期二\11点例5设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A,B,C

为常数.确定A,B,C；

求X和Y的边缘分布函数；求P(X>2)例2当前第27页\共有41页\编于星期二\11点解

(1)(2)当前第28页\共有41页\编于星期二\11点(3)可以将二维r.v.及其边缘分布函数的概念推广到n维r.v.及其联合分布函数与边缘分布函数当前第29页\共有41页\编于星期二\11点随机变量的独立性——将事件独立性推广到r.v.设(X,Y)为二维r.v.若对任何则称r.v.X和Y相互独立

两个r.v.的相互独立性实数

x,y都有§3.3定义当前第30页\共有41页\编于星期二\11点由定义知二维r.v.(X,Y)相互独立当前第31页\共有41页\编于星期二\11点X与Y

独立即对一切i,j有离散型当前第32页\共有41页\编于星期二\11点例6

例3中求(X,Y)的联合分布律及边缘分布为XYpij01-110000p•jpi•不独立X,Y是否独立?当前第33页\共有41页\编于星期二\11点若X,Y为相互独立的r.v.则aX+b,cY+d也相互独立；X2,Y2也相互独立；随机变量相互独立的概念可以推广到n

维随机变量若则称r.v.X

1,X

2,,X

n

相互独立由命题知当前第34页\共有41页\编于星期二\11点若两随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11

-110.250.25Ypij0.250.25故不能说X=Y.注意由左表易得：当前第35页\共有41页\编于星期二\11点

例7

袋中5球,2白3黑,先后任取一球,取到的白球个数分别为X、Y,如果（1）无放回,(2）有放回。求(1)的联合概率函数(2)联合分布函数(3)边缘分布函数(4)讨论独立性当前第36页\共有41页\编于星期二\11点（1）无放回解当前第37页\共有41页\编于星期二\1