2022考研数学一：多元微积分

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐2022考研数学一：多元微积分2022考研数学（一）真题

（多元微积分）

二、填空题.

（10）向量场()(),,Aijkxyzxyzxyz=++++的旋度_____________rotA=

（11）设函数(),fuv可微，(),zzxy=由方程()()221,xzyxfxzy+?=?确定，则()0,1d_____z

=

三、解答题.

（15）（本题满分10分）

已知平面区域：()(),221cos,22Drrππθθθ??=≤≤+?≤≤???

?，计算二重积分ddD

xxy∫∫.

（17）（本题满分10分）

设函数(,)fxy满足2(,)(21),xyfxyxex

??=+?且(0,)1,tfyyL=+是从点(0,0)到点(1,)t的光洁曲线，计算曲线积分

(,)(,)()ddtLfxyfxyItxyxy

??=+??∫，并求()It的最小值.

（18）（本题满分10分）

设有界区域Ω由平面222xyz++=与三个坐标平面围成，Σ为Ω囫囵表面的外侧，计算曲面积分

()21dd2dd3ddIxyzyzxzxyΣ

=+?+∫∫.

2022考研数学（一）真题解析

（多元微积分）

二、填空题：

（10）【答案】()0,1,1y?或(1)jky+?

【解析】本题考查向量场旋度的计算.

()(1)0,1,1i

jkrotAjkyyx

yzxyzxyz

???==+?=????++.（11）【答案】d2dxy?+

【解析】本题考查多元隐函数全微分的计算.对方程()()221,xzyxfxzy+?=?两边同时求全微分可得：

()()2''12d1d2d2,d(dd)dzxxzyy

xfxzyxxfxzfy++???=?+??+???

代入0,1,1xyz===，即有dd2d0xzy+?=.

三、解答题：

（15）【答案】3253

π+

【解析】本题考查利用极坐标计算二重积分.由已知()()2(1cos)22

2223422

23420

234222000dddcosd83cos3coscosd3163cos3coscosd3163cosd3cosdcosd31612332335.3223823

Dxxyrr

π

θππ

ππ

π

ππθθθθθθθθθθθθθθθθπππ+??==++=++??=++????

??=

??+?+?=+????∫∫∫∫∫∫∫∫∫

（17）【答案】()3

k

ΙΙ【解析】本题考查其次型曲线积分的计算以及函数的最值问题.首先，由2(,)(21)xyfxyxex

??=+?可得：222(,)(21)d(21)d()xyyxxyfxyxexexexxeCy???=+=+=+∫∫.已知(0,)1fyy=+，故()1Cyy=+，即

2(,)1xyfxyxey?=++.

第二，因为函数(,)fxy二阶延续可微，有22(,)(,)fxyfxyxyyx

??=????，故曲线积分()It与路径无关，这样

(1,)

2(0,0)

(,)(,)()dd(,)(,)dd(1,)(0,0).tLttfxyfxyItxyxyfxyfxyxyftftexy???=+????=+=?=+??∫

∫最后，按照2'()10tIte?=?=，可得唯一驻点2t=，又22"(2)10Ie?==>，故()It的最小值为(2)3I=.

（18）【答案】

12

【解析】本题考查利用Gauss公式计算其次型曲面积分.

由Gauss公式，()2120,0,022

22122120001dd2dd3dd(21)ddddd(21)d(21)(1)dd21(21)d(1)d(21)(1)d.22

yxxyxyxyxyxIxyzyzxzxyxxyz

yxyxz