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千里之行,始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐2022考研数学一:多元微积分2022考研数学(一)真题
(多元微积分)
二、填空题.
(10)向量场()(),,Aijkxyzxyzxyz=++++的旋度_____________rotA=
(11)设函数(),fuv可微,(),zzxy=由方程()()221,xzyxfxzy+?=?确定,则()0,1d_____z
=
三、解答题.
(15)(本题满分10分)
已知平面区域:()(),221cos,22Drrππθθθ??=≤≤+?≤≤???
?,计算二重积分ddD
xxy∫∫.
(17)(本题满分10分)
设函数(,)fxy满足2(,)(21),xyfxyxex
??=+?且(0,)1,tfyyL=+是从点(0,0)到点(1,)t的光洁曲线,计算曲线积分
(,)(,)()ddtLfxyfxyItxyxy
??=+??∫,并求()It的最小值.
(18)(本题满分10分)
设有界区域Ω由平面222xyz++=与三个坐标平面围成,Σ为Ω囫囵表面的外侧,计算曲面积分
()21dd2dd3ddIxyzyzxzxyΣ
=+?+∫∫.
2022考研数学(一)真题解析
(多元微积分)
二、填空题:
(10)【答案】()0,1,1y?或(1)jky+?
【解析】本题考查向量场旋度的计算.
()(1)0,1,1i
jkrotAjkyyx
yzxyzxyz
???==+?=????++.(11)【答案】d2dxy?+
【解析】本题考查多元隐函数全微分的计算.对方程()()221,xzyxfxzy+?=?两边同时求全微分可得:
()()2''12d1d2d2,d(dd)dzxxzyy
xfxzyxxfxzfy++???=?+??+???
代入0,1,1xyz===,即有dd2d0xzy+?=.
三、解答题:
(15)【答案】3253
π+
【解析】本题考查利用极坐标计算二重积分.由已知()()2(1cos)22
2223422
23420
234222000dddcosd83cos3coscosd3163cos3coscosd3163cosd3cosdcosd31612332335.3223823
Dxxyrr
π
θππ
ππ
π
ππθθθθθθθθθθθθθθθθπππ+??==++=++??=++????
??=
??+?+?=+????∫∫∫∫∫∫∫∫∫
(17)【答案】()3
k
ΙΙ【解析】本题考查其次型曲线积分的计算以及函数的最值问题.首先,由2(,)(21)xyfxyxex
??=+?可得:222(,)(21)d(21)d()xyyxxyfxyxexexexxeCy???=+=+=+∫∫.已知(0,)1fyy=+,故()1Cyy=+,即
2(,)1xyfxyxey?=++.
第二,因为函数(,)fxy二阶延续可微,有22(,)(,)fxyfxyxyyx
??=????,故曲线积分()It与路径无关,这样
(1,)
2(0,0)
(,)(,)()dd(,)(,)dd(1,)(0,0).tLttfxyfxyItxyxyfxyfxyxyftftexy???=+????=+=?=+??∫
∫最后,按照2'()10tIte?=?=,可得唯一驻点2t=,又22"(2)10Ie?==>,故()It的最小值为(2)3I=.
(18)【答案】
12
【解析】本题考查利用Gauss公式计算其次型曲面积分.
由Gauss公式,()2120,0,022
22122120001dd2dd3dd(21)ddddd(21)d(21)(1)dd21(21)d(1)d(21)(1)d.22
yxxyxyxyxyxIxyzyzxzxyxxyz
yxyxz
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