河南省洛阳市第二实验中学高三数学理联考试卷含解析

河南省洛阳市第二实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为A．

B．

C．

D．参考答案：B易知：两两垂直，我们把四面体A′EFD扩成一个棱长分别为1,1,2的长方体，则长方体的外接球即为该四面体A′EFD的外接球，所以该球的半径。2.定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足则的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C考点：简单线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；图表型．分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，画出可行域如图．k=表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：；当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减3.已知平面α∩平面β=a，平面β∩平面γ=b，平面γ∩平面α=c，则下列命题：①若a∥b，则a∥c，b∥c；②若a∩b=O，则O∈c；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的命题是（

）A.①②③

B.②③

C.①③

D.①②参考答案：D因为，且平面平面，所以，又平面平面，所以，由平行公理，得，故①正确；若，且平面平面，平面平面，则且，又平面平面，所以，故②正确；由正方体的三个相邻侧面可知③错误；故选D.点睛：本题考查三个平面两两相交，有三条交线，可考虑三条交线的位置关系（三条交线相互平行、三条交线重合、三条交线交于一点）进行判定，也可以结合具体几何体（三棱柱、三棱锥、正方体等）进行判定.4.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A(－1,+∞)，选A.5.已知函数，则下列命题错误的是（

）A．函数是奇函数，且在上是减函数B．函数是奇函数，且在上是增函数C．函数是偶函数，且在上是减函数D．函数是偶函数，且在上是增函数参考答案：A6.已知奇函数f（x）满足f（－1）＝f（3）＝0，在区间[－2，0）上是减函数，在区间[2，＋∞）是增函数，函数F（x）＝，则的解集是A．{x｜x＜－3，或0<x<2，或x>3}

B．{x｜x<－3，或－1<x<0，或0<x<1，或x>3}C．{x｜－3<x＜－1，或1<x＜3}

D．{x｜x＜－3，或0<x＜1，或1<x＜2，或2<x＜3}参考答案：C7.已知,则

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）A．[0，5] B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值即可．【解答】解析：因x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P（x，y）在所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P（x，y）在直线4x+3y=0上，，解得A（﹣6，8）．，解得B（3，﹣4）．P到坐标原点的距离的最小值为0，又|AO|=10，|BO|=5，故最大值为10．∴其取值范围是[0，10]．故选B．9.若关于X的不等式的解集恰好是，则的值为（

）A．B．4C．D．5参考答案：C10.已知命题p：若x2+y2＞2，则|x|＞1或|y|＞1；命题q：直线mx-2y-m-2＝0与圆x2+y2-3x+3y+2＝0必有两个不同交点，则下列说法正确的是A．?p为真命题

B．p∧(?q)为真命题C．(?p)∨q为假命题

D．(?p)∨(?q)为假命题参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝____________.参考答案：略12.已知圆C过点，且与圆M:关于直线对称.若Q为圆C上的一个动点，则的最小值为 .参考答案：－4设圆心C，则，解得，则圆C的方程为，将点的坐标代入得，故圆C的方程为，设，则，且==，法一：令，，则≥-2法二：令，则，所以≥-4，的最小值为;13.=

；参考答案：14.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与

的夹角,且和都在集合中.给出下列命题：

①若时，则.

②若时，则.

③若时，则的取值个数最多为7.

④若时，则的取值个数最多为.

其中正确的命题序号是

（把所有正确命题的序号都填上）参考答案：①

③

略15.已知点在直线上,点在直线上,中点为,且,则的取值范围是_________.参考答案：16.在边长为1的正三角形中，设，则

．参考答案：．因为，所以为的中点即，∵，∴，∴．17.双曲线的渐近线方程为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）射线OP：θ=α（其中0＜α＜）与C2交于P点，射线OQ：θ=α+与C2交于Q点，求的值.参考答案：（Ⅰ）,.（Ⅱ）.

因为，所以，所以曲线的直角坐标系方程为.---------------------4（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为，所以，----------------------------------6点的极坐标分别为，所以，---------8所以.-----------------------------------1019.在等比数列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|an﹣4|}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，an﹣4≥0．数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴an=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，an﹣4≥0．∴数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴Sn=．20.已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示:(1)求a的值;(2)估计汽车通过这段公路时时速不小于60km的概率.参考答案：（1）…5分（2），所以汽车通过这段公路时时速不小于60km的概率为0.6.

…………10分21.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．22.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：网购金额（单位:千元）频数频率合计若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．（1）试确定，，，的值，并补全频率分布直