2023北京东城高三（上）期末数学（教师版）

2023北京东城高三（上）期末

数学

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合4=｛川-1<%<2｝,5=,则()

A.(-oo,2)B.(-l,+oo)C.(一1,1]D.[1,2)

2.在下列函数中，为偶函数的是()

A/(x)=x-cosxB./(x)=xcosx

c./(x)=ln|x|D,/(%)=Vx

3.在(x+'l的展开式中，若第3项的系数为10,则〃=()

A4B.5C.6D.7

4.在等比数列｛。“｝中，％=1,a2a3=8，则%=()

A8B.16C.32D.64

5.北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端

门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南

位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游

览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（）

6.在平面直角坐标系X。〉中，角a以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆。交于点P,

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轴，垂足为若一OMP的面积为色，则sin2a=（）

25

6八12〃18.24

A.—B.—C.—D.—

25252525

22

VV

7.已知双曲线。：三一3=1e>0力>0）的左、右焦点分别为E，F2,其渐近线方程为>=±2%，P

是。上一点，且尸6，尸鸟.若△尸月鸟的面积为4,则C的焦距为（）

A.V3B.26C.2#>D.475

8.在..ABC中，”对于任意|氏4一加4>,4”是"./8。为直角三角形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.在平面直角坐标系X。》中，若点P（。⑼在直线以+处+4。+3=0上，则当。，人变化时，直线OP

的斜率的取值范围是（）

B.

_V|V5

D.

10.如图，在正方体A6CO-中，点。是棱。。上的动点，下列说法中正确的是（）

①存在点。，使得CQ//A。；

②存在点。，使得GQ_LAC；

③对于任意点Q,。到4。的距离为定值；

④对于任意点Q,△ACQ都不是锐角三角形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

第二部分（非选择题共no分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数z满足（z+i）i=-3,则忖=.

第2页供22页

12.已知函数〃x)=6sinx-cosx,贝"!Jb；若将/⑺的图象向左平行移动孑个单位长度得

到g(x)的图象，则g(x)的一个对称中心为.

13.经过抛物线丁=2px(p>0)焦点尸的直线与抛物线交于不同的两点A,B,经过点A和抛物线顶点的

直线交抛物线的准线于点。，则点B的纵坐标为与点。的纵坐标力的大小关系为为如.(填

或

"21

14.设函数/(力=1,当“=()时，"X)的值域为______；若/X的最小值为1,则a

\x-a-]\,x<a

的取值范围是.

15.对于数列｛%｝,令%+…+(—1)&见，给出下列四个结论：

①若册=n，则T2023=1012；

②若Tn=n,则。2022=-1；

③存在各项均为整数的数列｛为｝,使得因>对任意的neN*都成立；

④若对任意的〃wN*,都有圜<“，则有

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.如图，在锐角ABC中，B=~,AB=3娓,AC=6,点。在8C边的延长线上，且CD=10.

4

(1)求NAC8；

(2)求.ACO的周长.

17.如图，在四棱僚P—ABC。中，底面A8CO是边长为2的正方形，PA=2,PA1AB,E为BC

的中点，F为PD上一点、,EF//平面PA8.

第3页供22页

(1)求证：E为PO的中点；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线AD与平面AE尸所成角的正弦值.

条件①：ADLPB；

条件②：PC=2®

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课

后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间(单位：小时)，分

别位于区间[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用频率分布直方图表示如下，假设

用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.

(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率;

(2)从全校学生中随机选取3人，记岁表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的人数，求J

的分布列和数学期望矶4)；

(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为。，b,c,请直接写

出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代)

19.已知椭圆C：二+与=1(a>8>0)离心率为且，长轴长与短轴长的和为6,月,工分别

a~b~2

为椭圆C的左、右焦点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设p为椭圆。上一点,拉(1,0).若|「耳|,41PM,|尸阊成等差数列,求实数2的范围.

20.已知函数f(x)=xe”.

(1)求曲线y=在点(0,/⑼)处的切线方程；

(2)求的极值；

⑶证明：当〃>1时，曲线C|：y=/(x)与曲线C2：y=欣+8+加至多存在一个交点.

21.已知数列A：%,%满足：a,6{0,1}(i=l,2....n,n>2),从A中选取第4项、

第4项....第)项(&<4<<<„<m>2)称数列4,”>•••>4”为A的长度为机的子列.记

第4页供22页

T(A)为A所有子列的个数.例如A：0,0,1,其T(A)=3.

(1)设数列A：1,1,0,0,写出A的长度为3的全部子列，并求T(4)；

(2)设数列A：%,a2,an,4：an,.......q,A"：l-a1,l-a2,\-an,判断

T(A),T(A),T(A")的大小，并说明理由；

(3)对于给定的正整数〃，k(l<k<n-l),若数列A：q,a2,满足：

a1+a2+•••+«„=k,求T(A)的最小值.

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参考答案

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

I.【答案】A

【解析】

【分析】直接利用并集的概念运算即可

【详解】因为集合4={川一1<8<2},B={x|x<l),

所以AB={x\x<2\.

故选：A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性定义判断各个选项即可.

【详解】对于A,函数/(x)=无一COSX的定义域为R,且/(一x)=-x-cosx,所以

故函数不为偶函数；

对于B,函数〃x)=xcosx的定义域为R,§.f(-x)=-xcosx,所以/(T)K/(X),故函数不为偶

函数；

对于C,函数〃x)=lnW的定义域为(一8,0)(0,4-00),且〃一%)=1#M，所以=故函

数为偶函数；

对于D,函数/(x)=4的定义域为［0,+8),不关于原点对称，所以函数不为偶函数.

故选：C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】fx+-1展开式的通项为人=(：：炉-211),故C="(7)=10,〃=5.

故选：B

4.【答案】D

【解析】

【分析】根据生生=8及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】设等比数列{4,}的公比为4,

第6页供22页

因a2a3=8，4=1,所以/=8,解得q2.

66

所以%=atq=2=64.

故选:D.

5.【答案】D

【解析】

【分析】分别求出这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个的种数和选取的3个中一定有故宫的种数，

再由古典概率代入即可得出答案.

【详解】设11个重要建筑依次为4,笠，,&4/心,/1工/,」,,其中故宫为d,

从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：(a,b,cMb,c,d),(c,d,e),(d,e,f),

共9种情况，

其中选取的3个中一定有故宫的有：(b,c,d),(c,d,e),(d,e,f),共3种,

所以其概率为：--

3

故选：D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.

【详解】由三角函数的定义可知：OM=cosa,PM=sina,

故.PM=』cosasincz=色，故'sin2a=包，

2225425

解得：sin2(z=—.

25

故选：D

7.【答案】C

【解析】

h

【分析】由双曲线C的渐近线方程为y=±2x,所以-=2.再结合题意可得到

a

|附卜附||=2〃

<|尸£「+「入『=同"「=402=4(/+〃)，解出〃，即可求得c的焦距.

小用忖图=4

【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为〉=±2工，所以2=2,

a

因为PR1PF2,△尸片尸2的面积为4,

第7页/共22页

I附HP周=2a

所以产制用2=内用2=4c2=4d+/）,解得。2=1,〃=4,

%耳卜%=4

所以。2=/+/=5,即。的焦距为2c=2后.

故选：C.

8.【答案】A

【解析】

【分析】设8O=fBC，根据平面向量的运算可得|0《〉,。卜从而可得。=^；若A8C为直角三角形,

7T

不一定有。=—,根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

2

【详解】设BD=tBC，则8A-r8C=8A—8O=OA，

所以|区4—"。|>\AC\即为|。小>\AC\,

所以|AC|是边3C上的高，即C4J.CB,即C=],

故.ABC为直角三角形.

若.ABC为直角三角形，不一定有C二5,故不一定有|瓦1一，3。|>卜4.

所以“对于任意rwl,|刚一出是"..ABC为直角三角形”的充分而不必要条件.

故选:A.

9.【答案】B

【解析】

【分析】将点P代入直线方程中得出点尸为圆上的动点，

结合图像分析即可求出直线0P的斜率的取值范围.

【详解】因为点在直线以+处+4。+3=0上，

所以。•〃+/?•/?+4。+3=0，

即。2+/+4。+3=00（。+2）2+〃=1,

则尸（〃⑼表示圆心为（-2,0）,半径为1的圆上的点，

如图：

第8页供22页

由图可知当直线OP与圆相切时，直线OP的斜率得到最值，

设L:y="，

由圆与直线相切，故有圆心（-2,0）到直线的距离为半径1,

解得：k=，

3

由图分析得：直线。P的斜率的取值范围是一与号.

故选：B.

10.【答案】C

【解析】

【分析】建立以A为原点，分别以AB,AD,44,的方向为x轴，丫轴，z轴正方向得空间直角坐标系

A-xyz,设正方体边长为1,运用空间向量法逐个判断解决即可.

【详解】由题知，在正方体ABC。—AqG"中，点Q是棱。A上的动点，

建立以A为原点，分别以的方向为》轴，y轴，Z轴正方向得空间直角坐标系A-xyz,设

正方体边长为1.

所以A（0,0，l），C（l,l，0），C«，l，l），设。（0,1,。），其中0<aWl,

所以GQ=（T，0，aT），AC=（l，l，-l），

第9页供22页

当GQ=4AC时，九无解，故①错误；

当。1。.4。=—1+0+1-4=0时，解得。=0,故②正确；

因为AQ=（0,l，。一1），其中OWaWl，

所以。到4c的距离为

rV1..........-12L-44「

卜。『-皆［小百一也逅］,不是定值，故③错

2’3

误；

因为QC=（l,O,-a）,QA=（0,—1,1一。），其中OAaWl,

所以cos（QC,QA,）=।ef--,ol<O

所以W9凶阿«+入口+（~）2［5,J，

所以三角形为直角三角形或钝角三角形，不可能为锐角三角形，故④正确

故选：C

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.【答案】2

【解析】

【分析】根据复数运算解决即可.

【详解】由题知，（z+i）i=-3,

-3-3i

所以z=-—i=」-i=2i,

i-1

所以目=2.

故答案为：2

12.【答案】①.1②.（0,0）（答案不唯一）

【解析】

【分析】化简〃x）=2sin（x—?）,代入即可求出

:由三角函数的平移变换求出g（x）,再由三角

函数的性质求出g（x）的对称中心，即可得出答案.

【详解】/（x）=v3sinx-cosx=2sinx---,

l6J

所以，图=2s喑4卜,

第10页/共22页

将/（X）的图象向左平行移动g个单位长度得到g（x）的图象，

6

则=2sinIx+---I=2sinx,

所以g（x）的对称中心为（版",0）.

故g（x）的一个对称中心为（0,0）.

故答案为：1；（0,0）（答案不唯一）.

13.【答案】=

【解析】

【分析】设人（玉,乂）,5（々,必），求出直线。4的方程，与准线方程联立可得力=-2-.设直线A3的方

X

程为加），=X—日,与抛物线方程联立可得乂必=-。2,从而可求为与的关系，即为与力的关系.

【详解】设4（百,%）,5（工2，%），

_M_X

V——X——z-X-_2PX

则直线。4的方程为.X,尤乂，

而

令x=y,可得％=一2.

2y

设直线AB的方程为my=x--^,

my-x--..

联立，”2,可得旷一2〃my-p-=0,

y2=2px

所以必必=-/,即%=-2.

x

所以如=%，即为=%•

故答案为:=.

14.【答案】①.（T,+℃）;②.[&,+8）.

【解析】

【分析】当4=0时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得。=（）与。＜0不符合题意：

当。＞0时，”+1＞1,画出图象，设y=d-l与y=|x-a-l|在（1,+8）上的交点横坐标为。，讨论可得

时，/（x）的最小值为1,求出吃,解不等式即可求。的取值范围.

第11页/共22页

,、x-l,x>0

【详解】若4=0,则｛,,、，

|x-l|,x<0

当X>0J(X)=f_l单调递增,所以〃x)>〃0)=-l；

当X40J(x)=|x-l|=l-x单调递减,所以/(X)可(0)=1.

故/(X)的值域为(—1,+8).

当0=0时，/(X)的值域为(-1,+00),不符合题意；

当a<0时，/(%)=/一1在(。,+=0)上的最小值为-1,不符合题意；

当。>0时，4+1〉1,

画出y=》2-l,y=|x-1]的图象，如图所示：

\\|/尸

AKzL

-l\IZxoa+lx

设y=f-1与>=上一。一1|在(1,+8)上的交点横坐标为方,

又/(a)=|a_a_l|=l,

当0<。</时，由图象可得/(x)无最小值；

当a2%时，由图象可得/(%)有最小值=1,

由/-]=-(尤一q-l),可得/+无_2=0,

।,——]+Jl+4(a+2)

故可rZ得Bx=Y1L,

o2

所以aJ+J"/'+?),即(2a+lJNl+4(a+2),

2

化简得MN2,解得a2近.

故答案为：(-1,+8)；[及,+8).

【点睛】方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考

虑；

(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.

15.【答案】①②④

【解析】

第12页/共22页

【分析】逐项代入分析求解即可.

【详解】对于①：

因为=q-。2+。3-。4+…+(-1)an'

且因为a“=H,

所以7；=1—2+3—4+…—I)"””，

所以与023=1—2+3—4+…+2021—2022+2023=—1011+2023=1012,

故选项①正确；

对于②：若(=〃，则

，+l

r=q---H(-l)an=n

所以l,+|=q—。2+。3一。4'I--^(一1)""+(—1)4升|=〃+］，

所以两式相减得(—1)24川=1,

所以(一1)2°2"%2。22=1，

所以一。2022=1，

所以〃2022=-1，

故选项②正确；

对于③：|北|=|。［—々2+。3-/+…+(T)""QJ，

l&J=1%-。2+。3-。4+...+(T)""a"+(T)"%"+1|,

所以若|蜀>|加I对任意的〃eN*都成立，

则有因>园>园>圜>园>闻>...>圜,

所以同>何一“』>|«!+%|>|ai+“3_%|〉W_42+。3_。4_%|>

|«1+。3-%-%+%|>…>\a\~a2+a3~ai+a5~ab+…+>|fl|~a2+%+。5一g+...+(~|,

因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从同越来越小，之后甚至会出现。大于某数绝对值的情况，例

如：1000>300>100>20>5>3>2>1>0>...,后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错

误；

对于④：

若对任意的“eN*，都有叫<M,

则有|a“+i.

aa

=\n+\-n+«).-1-«„-l-«„-2+…一〃2+4-4+q|

第13页/共22页

=|(可+1+a“-l一凡-2+…+4+«„_2-...-«2+«|)|

-|an+l-4+一%-2+…+。2-%|+\~an-\+4-2-…-。2+%|

4&J+|%|<M+M=2M.

故选项④正确；

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分•解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.【答案】(1)y;

(2)30.

【解析】

【分析】(1)在ABC中，利用正弦定理即可求解；

2兀

(2)由(1)可求得NACQ=—,在;ACO中，利用余弦定理可求C。，从而可求..ACO的周长.

3

【小问1详解】

在.ABC中，B=~,AB=3瓜，AC=6,

ABsin8_曰三_且，

由正弦定理可得

sinZACBsinBAC—一6~~

TT

因为ABC是锐角三角形，所以ZACB^-.

【小问2详解】

TTZjr

由（1）得NACB=^,所以NACO=」

在，ACO中，AC=6,CD=10,ZACD=—

3

所以AD=VAC2+CD2-2AC-CD-cosZACD=）62+102-2x6xl0xf-1=14.

所以ACO的周长为6+10+14=3().

17.【答案】(1)证明见解析；

叫.

【解析】

【分析】(1)取AO的中点M,可证明平面EFM〃平面PA8,故MF〃平面，从而可证明MF〃PA,

可得F为P。的中点；

第14页/共22页

（2）选择条件①，可得PA,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，分别以A8,AO,AP为X,y,z轴建立空间

直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值；

选择条件②，利用勾股定理的逆定理可得AO_LPB,可得PA,AB,A。两两垂直，以A为坐标原点，分

别以AB,AD,AP为x,%z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

取AD的中点易知EM/IAB.

因为EM仁平面PAB,ABu平面PAB，所以EM〃平面PAB.

因为后///平面PA8,EMcEF=E,EM,EFu平面EFM,

所以平面EFM〃平面PA6.

因为Mbu平面EFM,所以MFII平面EFM.

因为MEu平面PAO,且平面PAO平面PAB=PA,所以MF//PA.

因为“为的中点，所以『为PQ的中点.

【小问2详解】

选择条件①：AD1PB,

因为底面ABC。是边长为2的正方形，所以AO1A8.

因为P8|=平面PAB,所以AO,平面PAB.

因为PAu平面尸A8,所以AD，PA.

因为PA_LA3,所以PAAB,A。两两垂直，

以A为坐标原点，分别以48,40,4P为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

第15页/共22页

则A（0,0,0）,£＞（0,2,0）,E（2,1,0）,尸（0,1,1）,

所以AO=（0,2,0）,AE=（2,1,0）,Ab=（0,1,1）,

设平面AEF的法向量为〃=（x,y,z）,

n•AE=2x+y=0

则《令尤=1,得〃1,2,2,

n-AF=y+z=0

设直线AD与平面AEF所成角为。,

/\ADn42

则sin0=cos(AD.n)=---—=----=—.

'/AD^nn2x33

2

故直线AD与平面AEF所成角的正弦值为y.

选择条件②：PC=2百，

因为PA_LA8,PA=AB=2,所以PB==20•

因为PC=2百，BC=2,所以PC?=BC?+PB?,

所以BCLPB,即A£)_LP3.

因为底面ABC。是边长为2的正方形，所以AO1AB.

因为PBC\AB^B,PB,ABu平面PAB,所以A。，平面PAB.

因为PAu平面PAB,所以A。，PA.

因为P4_LA5,所以PA,AB,AO两两垂直，

以A为坐标原点，分别以4氏4。,4尸为羽％2轴建立空间直角坐标系,

第16页/共22页

则A（0,0,0）,D（0,2,0）,E（2,l,0）,F（0,l,l）,

所以4力=（0,2,0）,=（2,1,0）,4户=（0,1,1）,

设平面AEF的法向量为〃=（x,y,z）,

n-AE=2x+y=0

则1，令x=l,得〃1,2,2,

n-AF=y+z=0

设直线AD与平面AEF所成角为。，

/、ADn42

则sin0=cos(AD,n)=-----rr—=-----=—.

'/A3〃2x33

2

故直线AD与平面AEF所成角的正弦值为--

18.【答案】(1)0.65

(2)答案见解析(3)c<b〈a

【解析】

【分析】(1)直接计算得到答案.

(2)概率Pi=0.200x2=0.4,J的可能取值为0,1,2,3,计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答

案.

(3)根据公式计算众数，平均数和中位数，再比较大小即可.

【小问1详解】

参加课后活动的时间位于区间［13,17)的概率〃=(0.125+0.200)x2=0.65.

【小问2详解】

活动的时间在区间［15,17)的概率p|=0.200x2=0.4,

。的可能取值为0,1,2,3,

p(^=0)=(l-0.4)3=0.216,p偌=1)=C；♦0.4x(1-0.4)2=0.432,

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p楂=2)=C]0.42x(l-0.4)=0.288,=3)=O.43=0.064.

故分布列为：

0123

P0.2160.4320.2880.064

£,(^)=0x0.216+1x0.432+2x0.288+3x0.064=1.2

【小问3详解】

众数为：a=16；

(0.025+0.050+0.075)x2=0.3<0.5,

(0.025+0.050+0.075+0.125)x2=0.55>0.5,

则仅一13)x0.125=0.5-0.3=0.2,6=14.6；

c=8x0.025x2+10x0.050x2+12x0.075x2+14x0.125x2+16x0.200x2

+18x0.025x2=14,

故c<b<a

19.【答案】（1）—+/=1

4

-2-

（2）A€—,V6

_3_

【解析】

【分析】（1）由离心率，长轴长与短轴长的和列出方程组求解即可；

22^2=

（2）由等差关系推导出a=进而化简为h^_4j+：1’结合椭圆有界性可求出范围.

3

【小问1详解】

c_V3

a-Vfa2=4

由题意〈2,22«•1,

c-+b2^a2[/=]

2b+2a=6

2

=1,

4

r2

故椭圆C的方程为上+y2=i.

4

【小问2详解】

设P（x,y）,xe[—2,2]

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尸耳I，41PMi,归国成等差数列

:.2X\PM\=\PF^+\PF2\=2a=4

.•-2_22

20.【答案】(1)x-y=0

(2)极小值为-2,无极大值；

e

(3)证明过程见解析

【解析】

【分析】(1)求导，得到了'(O)=e°=l,并得到/(。)=0,从而写出曲线的切线方程；

(2)求导后得到x>—l时，fx0,当x<—1时，尸(“<0,从而得到函数单调性，求出/(x)的极

小值为-1，无极大值；

e

⑶令g(x)=xe"-l联一》一相，求出定义域和导数，对导函数变形得到g'(x)=(x+l)(e*T，令

If1A1

〃(x)=e'-一，得到其单调性，结合零点存在性定理得到h-,1,即e&=一,此时g(x)取得极

x12J冗o

小值g(x())=l-m,从而得到当机1时，曲线C|：y=/(x)与曲线。2：y=lnx+x+/n至多存在一个

交点.

【小问1详解】

"0)=0，

/(x)=(x+l)ex,则//(0)=e°=1,

故曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为：y=x,即x—y=0；

【小问2详解】

//(x)=(x+l)ev,当x〉-l时，/x0,

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当》<-1时，/(x)<0,

故/(x)在x>-l上单调递增，在x<-1上单调递减,

/(X)在x=-l处取得极小值，〃-1)=一：,

故“X)的极小值为无极大值;

【小问3详解】

令g(x)=xe*-hu-x-/7i,定义域为(0,+e),

g'(x)=(x+l)eX-，1-l=(x+l)(e*-L],其中x+]>0,

X

令=e*—1，则/«尤)=e*+2>0在(0,+的上恒成立,

XJC

=e，-J在(0,+8)上单调递增，

因为〃(1)=e-l>0,h—=/一2<0,

由零点存在性定理可知：3xoef

当工€(0,天)时,7z(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减,

当X€(%,+00)时，/z(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增,

当％=不时，〃(x)=0,即此时g(x)取得极小值gG),

g(x0)=/e%-lnx0-x0-m,

%1

因为e"=—，所以Xoe"。=1,%,=-In/,

故g(玉)=1一加,

当机<1时，g(无0)=1-"2〉0,此时在xe(O,+8)上，g(x)〉O,

则曲线G：y=/(x)与曲线。2：y=3+x+m无交点，

当初=1时，^(xo)=l-m=O,此时，有且仅有一个x()€,使得g(x)=O,

当X€(0,+oo)且xr/时,都有g(x)〉O,即/(x)21nx+x+zn,

故当机=1时，曲线C|：y=/(x)与曲线。2：y=lar+x+m存一个交点，

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故当机1时，曲线C：y=/'(x)与