由边的数量关系识别直角三角形

由边的数量关系识别直角三角形第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期三同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?古埃及人曾用下面的方法得到直角:用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期三1、这段文字说明是什么？2、做一做：把一条线段分成12等份，在第三、第七等分处折成一个三角形，并量一量最大角是多少度．3、这个三角形的三边分别是3、4、5等分，这三个数有什么样的数量关系？32+42=52第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期三

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：

5，12，13；6,8,10；8，15，17.（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？练习第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期三

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2

，那么这个三角形是直角三角形满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数请同学们记住要点第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期三如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC=90°．根据这些条件，能否知道∠ACD等于90°？ACBD第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期三1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可能是()3:4:7;B.5:12:13;C.1:2:4;D.1:3:5.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是()是直角三角形;B.可能是锐角三角形;C.可能是钝角三角形;D.

不可能是直角三角形.第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期三三角形的三边分别是a,b,c,

且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是:(直角三角形)A.直角三角形;B.是锐角三角形;是钝角三角形;D.是等腰直角三角形.已知∆ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形,______是最大角.5.以∆ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,则这个三角形是______三角形.A直角直角∠

A第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期三ADCB7、请你写出三组勾股数；8、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且∠ABC=900,求这个四边形的面积.第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期三小结： 直角三角判别条件：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数补充思考题：△ABC中，AB=17cm,BC=30cm,BC上中线AD=8cm，请你判断△ABC的形状，并说明理由．第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期三例题解答补充思考题：△ABC中，AB=17cm,BC=30cm,BC上中线AD=8cm，请你判断△ABC的形状，并说明理由．AB的平方是289，DB的平方是225+AD的平方是64=289△ABC是直角三角形，因为它满足第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期三直角三角形全等的判定第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期三回顾与思考1、判定两个三角形全等方法，

，

，

，

。SSSASAAASSAS3、如图，ABBE于B，DEBE于E，⊥

⊥

2、如图，RtABC中，直角边

、

，斜边

。ABCBCACAB（1）若A=D，AB=DE，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

ABCDEF全等ASA第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期三ABCDEF（2）若A=D，BC=EF，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

全等SSS第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期三如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期三⑵如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面让我们一起来验证这个结论。第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期三做一做已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α

，CB=a，AB=c.acα想一想，怎样画呢？第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期三按照下面的步骤做一做：⑴作∠MCN=∠α=90°;CMN⑵在射线CM上截取线段CB=a;CMNB⑶以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;CMNBA⑷连接AB.CMNBA⑴△ABC就是所求作的三角形吗？⑵剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期三直角三角形全等的条件斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

简写成“斜边、直角边”或“HL”.第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期三已知线段AB=10㎝,BC=8㎝和一个直角,利用尺规做一个直角三角形,使∠C=90°,AB作为斜边,做好后,将△ABC剪下与同伴比较,看能发现什么规律?作法:1,作∠MCN=90°,2,在射线CM上截取CB=8㎝,3,以B为圆心,10㎝为半径画弧交射线CN于点A,4,连接AB,就可以得到想要的Rt△ABC动一动∟ABCMN对于一般的直角三角形也有这样的规律吗?8㎝10㎝第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期三做一做任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A’B’C’.使B’C’=BC,A’B’=AB,把画好的Rt△A’B’C’剪下,放到Rt△ABC上.它们全等吗?∟A’∟C’MNABCB’第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期三想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期三直角三角形全等的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。（简记为H.L）ACBA'C'B'几何语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'

中∵AB=A'B'

（已知）

AC=A'C'（已知）∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（H.L)第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期三例1:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD∟∟ABC证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABC和Rt△BAD中AB=ABAC=BD∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)∴BC=ADD第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期三练习:1,已知∠B=∠C=90°，AB=CD，则△ABO≌△DCO，其依据是______A.A.S2,在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠A，DE⊥AB，则△AED≌△ACD，其依据是________A.A.S第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期三练一练如图，D为BC边上的中点，DE⊥ABDF⊥AC，且DE=DF，那么△DBE≌△DCF吗？证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△DBE和△DCF为Rt△,∵D为BC边的中点,∴BD=CD,

在Rt△DBE和Rt△DCF中

DE=DFBD=CD∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)

即△DBE≌△DCF

第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期三例2:如下图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么数量关系？议一议∠ABC+∠DFE=90°.第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期三证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF(已知）

AC=DF(已知）∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).又∠DEF+∠DFE=180°–90°=90°∴∠ABC+∠DFE=90°(等量代换)第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期三练一练⒊如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？CDAB解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则

AB=AB,AC=AD.∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形对应边相等).第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期三

2.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD

因为∠ADB=∠ADC=90°AB=ACAD=AD所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)所以BD=CD第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期三议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？∠ABC+∠DFE=90°.第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期三解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,则

BC=EF,AC=DF

.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期三2、思考：已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板画出∠AOB的角平分线？说出画法和理由.第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期三1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法——“H.L”.2.两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）.小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流通过这节课的学习你有何收获？第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期三复习提问

三角形按角是怎样分类的？三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期三想一想直角三角形的两个锐角有什么关系?定理1直角三角形的两个锐角互余。第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期三看谁做的快！1、△在ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=？2、直角三角形的两个锐角的平分线所构成的钝角是多少度？ABCO12练一练第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期三

问题征答定理2在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，三边之间具有怎样的关系？第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期三读一读勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。勾股定理是数学史上的一颗璀璨的明珠,数学大师陈省身说过:“欧几里得几何的主要结论有两个，一个是毕达哥拉斯定理，一个是三角形内角和定理。”世界著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形，作为地球人与“外星人”交谈的语言，以探索宇宙的奥秘。第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期三从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。（只列不解）问题探讨第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期三做一做用两个含30角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？你能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。讨论第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期三根据上面拼图过程，请同学们思考:

在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？定理3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边