高中数学-平面几何中的向量方法教学课件设计

第二章平面向量

第五节平面向量应用举例

第一课时平面几何中的向量方法因为有了运算，向量的力量无限，如果不能运算，向量只是示意方向的路标．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．回顾复习平面向量的运算及几何意义？如何判断两个向量的平行.垂直？

例1：（有关长度的问题）．ABCD猜想：长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？类比猜想：平行四边形有相似关系吗？两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD分析：不妨设AB＝a，AD＝b．

则AC＝a＋b，DB＝a－b．ab遇到有关长度的问题时，我们常常需要考虑向量的数量积．ABCD解：ab|AC|2＝AC·AC＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b

同理|BD|2＝|a|2－2a·b＋|b|2

．所以|AC|2

＋|BD|2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|AB|2＋|AD|2)．＝|a|2＋2a·b＋|b|2．

总结：解决本题的关键是选择恰当的基向量，把几何问题转化为向量问题。

变式训练:用向量的方法证明直径所对的圆周角是直角ABCO

如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量即

即，∠ACB=90°

1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

3)把运算结果“翻译”成几何元素．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：可简单的表述为：[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]

例2：如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、

DC边的中点，BE

、

BF分别与AC交于R

、

T两点，你能发现AR

、

RT

、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR＝RT＝TCABCDEFRT解：第一步：[形到向量]设则AB＝a，AD＝b，AR＝r，AT＝t，AC＝a＋b．第二步：[向量的运算]由于AR与AC共线，故设r=n(a+b)，n∈R．又因为ER与EB共线，所以设ER＝m

EB＝m(a－b)，12ABCDEFRT因为AR＝AE＋ER，所以r＝

b＋m(a－b)，1212因此

n(a+b)＝

b＋m(a－b)，1212

即(n－m)a

＋(n+

)b＝0m-12

由于向量a，b不共线，n－m＝0n＋＝0m-1213解得：n＝m＝．ABCDEFRT所以AR＝AC，13同理TC＝AC，13于是RT＝AC，13第三步：[向量和数到形]故AT＝RT＝TC．总结：本题选择了恰当的基向量，通过列向量方程，解方程组得到结论，体现了方程思想在向量解题中的运用。例3（计算夹角的大小）思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，你认为∠A的大小是否为定值？ABCDE思考2：设向量a，b，可以利用哪个向量原理求∠A的大小？ABCDEab思考3：以a，b为基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？ABCDEab已知点A(1，0)，直线l：y=2x－6，点R是直线l上的一点，若RA＝2AP，求点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，R(x1，y1)所以，点P的轨迹方程为y＝2x．则RA＝(1-x1，-y1)，AP＝(x-1，y)，由RA＝2AP得(1-x1，-y1)＝2(x-1，y)即x1＝-2x+3，y1＝-2y代入直线l的方程得y＝2x．1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化.小结本节课的主要内容是什么