北京第一一六中学高三数学理下学期期末试题含解析

北京第一一六中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图已知中,点在线段上,点在线段上且满足,若,则的值为A．

B．

C.

D．参考答案：A因为，所以。2.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得

为整数的正整数的个数是（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：答案：选D解析：由等差数列的前项和及等差中项，可得

，故时，为整数。故选D点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性

是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。易错点：不能将等差数列的项与前项和进行合理转化，胡乱选择。4.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（

）A．平均数

B．标准差

C．众数

D．中位数参考答案：B略5.已知a＞0，x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(

)

A. B. C.1 D.2参考答案：B略6.若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（）A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：C【分析】设，用表示出，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得所在的范围，进而得到答案．【详解】设，则，∴．∵，∴；又，∴，即．∴．故选C．【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的性质以及基本不等式，具有一定的灵活性和难度，解题的关键是用参数表示出，考查变换和计算能力．7.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间（－2，6]内关于x的方程恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为A.（1，2）

B.（2，）

C.（）

D.（，2）参考答案：D略8.若二项式的展开式中的系数是84，则实数（

）A.2

B.

C.1

D.参考答案：C9.在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于A．15

B．12

C．9

D．6参考答案：B10.已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是A．

B．

C．

D．参考答案：B令，解得.对求导，得+2x?1+cosx，令，解得，故切线方程为.选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为．参考答案：2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由直观图判断其左视图为矩形，根据正视图可得三棱柱的底面为边长为2的正三角形，由此可得棱柱的侧棱长及底面三角形的高，代入矩形的面积公式计算．【解答】解：由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的主视图是一边长为2的正方形得：三棱柱的底面为边长为2的正三角形，正三棱柱的左视图为矩形，矩形的高为棱柱的侧棱长，∴高为2，底边长为底面三角形的高，∴底边长为，∴左视图的面积S=；故答案为：2．12.已知实数a,b满足等式下列五个关系式

①0<b<a

②a<b<0

③0<a<b

④b<a<0

⑤a=b其中不可能成立的关系式有_______________．参考答案：答案：③④13.在二面角中，且已知

,,则二面角的余弦值为

▲

参考答案：14.

已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________。

参考答案：3解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B—AC—D的平面角．AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2．由cos∠AGE=cos∠BFD，得=．∴=T9b2=16a2，Tb=a，从而b=2，2a=3．AE=2．即最远的两个顶点距离为3．15.（文）已知，，则=______________参考答案：16.设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为

．参考答案：17.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是_________;参考答案：31三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．

参考答案：解：(1)由已知f′(x)＝2＋(x>0)，……………2分f′(1)＝2＋1＝3.故曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率为3

……3分(2)f′(x)＝a＋＝(x>0)．……………………4分①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0恒成立，所以，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．…………6分②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.在区间(0，－)上，f′(x)>0；在区间(－，＋∞)上，f′(x)<0.所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，－)，单调递减区间为(－，＋∞)．……8分(3)由已知，转化为f(x)max<g(x)max＝2，……………10分由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e3)＝ae3＋3>2，故不符合题意．)

……11分当a<0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f(－)＝－1＋ln()＝－1－ln(－a)，…………13分所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.

…………14分19.（本小题满分15分）已知椭圆：，设该椭圆上的点到左焦点的最大距离为，到右顶点的最大距离为.(Ⅰ)若，，求椭圆的方程；(Ⅱ)设该椭圆上的点到上顶点的最大距离为，求证：.参考答案：（Ⅰ）解：，∴椭圆的方程为；…………5分（Ⅱ）证明：椭圆上任意一点，则点到上顶点的距离为，，构造二次函数，其对称轴方程为．当，即时，，此时，而，从而；当，即时，，此时；综上所述椭圆上任意一点到上顶点的距离都小于等于，所以椭圆上的点到上顶点的最大距离．…………15分20.已知函数．（1）若关于x的方程有解，求实数a的最小整数值；（2）若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围．参考答案：（1）2（2）【分析】（1）化简方程得，问题转化为求的最小值，对求导，分析导函数的正负得的单调性，从而得出的最小值，可得解；

（2）分析函数的定义域和单调性，得出在的最小值和最大值，由已知建立不等式，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.【详解】（1）化为，，，．令，，则，．的单调减区间为，单调增区间为，．，，．的最小整数值为2．（2），，，．．，的定义域为，且在是增函数．则，在上的最大值为，最小值为．由题意知，．，令，．在上是减函数，最大值为．，，的取值范围是．【点睛】本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.21.(本小题满分16分)设为关于的次多项式．数列的首项，前项和为．对于任意的正整数，都成立．(I)若，求证：数列是等比数列；(II)试确定所有的自然数，使得数列能成等差数列．（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．因为恒成立，所以，即．而且当时，，

①

，②①－②得．若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．

参考答案：【解】（2）(i)若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii)若k=1，设（b，c为常数），当时，，

③

，

④③－④得．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1，故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1，此时．(iii)若k=2，设（，a，b，c是常数），当时，，

⑤

，⑥⑤－⑥得，要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且d=2a，考虑到a1=1，所以．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，此时（a为非零常数）．(iv)当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．

略22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，c=2，S△ABC=．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）当角A钝角时，求BC边上的高．参考答案：【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式列出关系式，把b，c以及已知面积代入求出sinA