2021年湖南省永州市竹城中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年湖南省永州市竹城中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是

A．0

B．3

C．4

D．5参考答案：C设得，作出不等式对应的区域，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，由，解得，即B(1，2)，带入得，选C.2.，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为

参考答案：B略3.若函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由最小正周期求出，再令可得对称轴方程，从而可得答案.【详解】函数的最小正周期为，解得.,令，解得，取，可得图象的一条对称轴为.故选C.【点睛】本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数，最小正周期为，令可得对称轴方程.4.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，

则整数的值为

A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：A5.集合则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.（5分）已知函数若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，2）D．（1，2]参考答案：D【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：作图题．【分析】：通过作出函数的图象，可知当直线y=k过点（0，1）时，直线与曲线有1个公共点；当直线y=k过点（0，2）时，直线与曲线有3个公共点，而当直线介于上述两条直线间的时候，会有3个不同的公共点，可得答案．解：∵，作函数的图象如图函数y=k，（k为常数）的图象是平行于x轴的直线，结合图象可知，当直线y=k过点（0，1）时，直线与曲线有1个公共点，当直线y=k过点（0，2）时，直线与曲线有3个公共点，而当直线介于上述两条直线间的时候，会有3个不同的公共点，故当x∈（1，2]，时直线与曲线有3个不同的公共点，即关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根．故选D【点评】：本题为方程实根的个数问题，只需转化为两函数图象的交点的个数，通过作出函数的图象从而使问题得解，属中档题．7.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处参考答案：A【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】设仓库应建在离车站x千米处，由仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，利用给出的x=10及对应的费用求出比例系数，得到y1，y2关于x的函数关系式，写出这两项费用之和，由基本不等式求最值．【解答】解：设仓库应建在离车站x千米处．∵仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，令反比例系数为m（m＞0），则，当x=10时，=2，∴m=20；∵每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，令正比例系数为n（n＞0），则y2=nx，当x=10时，y2=10n=8，∴n=．∴两项费用之和：y=y1+y2=≥2=8（万元）．当且仅当，即x=5时，取等号．∴仓库应建在离车站5千米处，可使这两项费用之和最小，为8万元．故选：A．【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答此题的关键对题意的理解，通过题意求出比例系数，是中档题．8.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点A在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为1，且，，则双曲线方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.函数的零点个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B略10.已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是（）A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，4）

D．（4，＋∞）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，若，sinA=，BC=2，则AC=

.参考答案：12.直线mx＋y＋1＝0与圆相交于A，B两点，且｜AB｜＝，则m＝_______参考答案：±1略13.函数的定义域是

参考答案：要使函数有意义则有，，即，所以函数的定义域为。14.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，则m的取值范围是

.参考答案：15.复数的虚部为__________。参考答案：答案:116.设,用表示不超过的最大整数，称函数为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题：①高斯函数为定义域为的奇函数；②是的必要不充分条件；③设，则函数的值域为；④方程的解集是.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2

【答案解析】②③④

解析：对于①，f（﹣1.1）=[﹣1.1]=﹣2，f（1.1）=[1.1]=1，显然f（﹣1.1）≠﹣f（1.1），故定义域为R的高斯函数不是奇函数，①错误；对于②，“[x]”≥“[y]”不能?“x≥y”，如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，即充分性不成立；反之，“x≥y”?“[x]”≥“[y]”，即必要性成立，所以“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件，故②正确；对于③，设g（x）=（）|x|，作出其图象如下：由图可知，函数f（x）=[g（x）]的值域为{0，1}，故③正确；对于④，[]=[]=[]=[]﹣1，即[]+1=[]，显然，＞，即x＞﹣1；（1）当0≤＜1，即﹣1≤x＜3时，[]=0，[]+1=1；要使[]+1=[]，必须1≤＜2，即1≤x＜3，与﹣1≤x＜3联立得：1≤x＜3；（2）当1≤＜2，即3≤x＜7时，[]=1，[]+1=2；要使[]+1=[]，必须2≤＜3，即3≤x＜5，与3≤x＜7联立得：3≤x＜5；（3）当2≤＜3，即7≤x＜11时，[]=2，[]+1=3；要使[]+1=[]，必须3≤＜4，即5≤x＜7，与7≤x＜11联立得：x∈?；综上所述，方程[]=[]的解集是{x|1≤x＜5}，故④正确．故答案为：②③④．【思路点拨】①，举例说明，高斯函数f（x）=[x]中，f（﹣1.1）≠﹣f（1.1），可判断①错误；②，利用充分必要条件的概念，举例如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，说明“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件；③，作出g（x）=（）|x|的图象，利用高斯函数f（x）=[x]可判断函数f（x）=[g（x）]的值域为{0，1}；④，方程[]=[]?[]+1=[]，通过对0≤＜1，1≤＜2，2≤＜3三种情况的讨论与相应的的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x＜5}，从而可判断④正确．17.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是．参考答案：①或③【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论．【解答】解：①因为AC⊥α，且EF?α，所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF?α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD?平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②AC与α，β所成的角相等，AC与EF不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以④不可以成为增加的条件．故答案为：①③．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点P(,0)，求k的取值范围．参考答案：见解析【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示，再结合点（1，）在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m2＜4k2+3，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为（﹣，），求出MN的垂直平分线l′方程，由P在l′上，得到4k2+8km+3=0．结合m2＜4k2+3求得k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e=．∴=得a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为=1，又点（1，）在椭圆上∴=1，∴c2=1，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，∴△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3，又x1+x2=﹣，∴MN中点P的坐标为（﹣，），设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l′上即4k2+5km+3=0，，将上式代入得，∴，即∴k的取值范围为．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．19.选修4－1：几何证明选讲如图,内接于⊙,是⊙的直径,是过点的直线,且.

(1)求证:是⊙的切线;(2)如果弦交于点,,

,,求直径的长.参考答案：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠BAC=90°，即∠PAB=90°，∴BA⊥PA，∴PA是圆O的切线-----------------------5分（2）设AE=2m，DE=5n，则BE=3m，CE=6n，由相交弦定理得6m2=30n2，∴m=nks5u由AC/BD=AE/DE得BD=4设BC=X，由BC/AD=CE/AE得AD=/3X由AC2+BC2=AD2+BD2解得X=6，

∴AB=10------------------------10分略20.设函数的图象经过原点，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为.

（1）若方程=0有两个实根分别为-2和4,求的表达式；

（2）若在区间[-1,3]上是单调递减函数,求的最小值.参考答案：解（Ⅰ）因为函数的图象经过原点,所以,则.根据导数的几何意义知,………4分由已知—2、4是方程的两个实数,由韦达定理，

…………6分

（Ⅱ）在区间[—1，3]上是单调减函数，所以在[—1，3]区间上恒有,即在[—1，3]恒成立,这只需满足即可,也即…………10分而可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（—2，—3）距离原点最近，所以当时,有最小值13

13分略21.设函数在开区间内有极值.（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若，.求证：.参考答案：．(Ⅰ)解：或时，由在内有解．令不妨设，则，，所以

解得(Ⅱ)解:由或，由或，得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．由，得，由得，所以.因为，，所以因为（）令则所以在上单调递增，所以22.（本小题满分