北京河南中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

北京河南中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC的周长的最大值为（）A．2 B．6 C． D．9参考答案：D【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，可得：bc=b2+c2﹣a2，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=，∴由a=3，结合正弦定理得：==2，∴b=2sinB，c=2sinC，则a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin（﹣B）=3+3sinB+3cosB=3+6sin（B+），可知周长的最大值为9．故选：D．2.对于平面和异面直线，下列命题中真命题是（A）存在平面，使，（B）存在平面，使，（C）存在平面，满足，（D）存在平面，满足，参考答案：D略3.已知函数，定义如下：当，（

）A有最大值1，无最小值

B．有最小值0，无最大值

C．有最小值—1，无最大值

D．无最小值，也无最大值参考答案：C4.某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正

方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（

）

A．

B.

C.

D.

参考答案：A5.函数的图象是（

）参考答案：A6.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（

）A.140种B.70种C.35种D.84种参考答案：B7.设函数的零点为，的零点为，若，则可以是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】D

选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或-，

选项D：x1=；∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（）=2+1-2＞0，

g（）=+-2＜0，则x2∈（，），故选D．【思路点拨】首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到答案．8.已知集合A=，若,则实数a的取值范围是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】解不等式；集合关系及运算.

A1

E3【答案解析】C

解析：因为A=，所以B时成立，此时；时，即时，要使，需使，即，综上得实数a的取值范围是，所以选C.【思路点拨】先由已知求得集合A，再由知需要讨论与两种情况.9.已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2参考答案：B【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m=2．故选B．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查方程思想，比较基础．10.已知数列满足,则的前10项和等于A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则=

.参考答案：，即.，；12.若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是．参考答案：a＞﹣1【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】由不等式将参数a进行分离，利用函数的单调性进行求解．【解答】解：由2x（x﹣a）＜1，得x?2x﹣a?2x＜1，∴，设，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=﹣1，∴若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强．13.如图，在△ABC中，∠BAC＝1200，AB＝AC＝2，D为BC边上的点，且，，则

.参考答案：114.展开式中的常数项为

．

参考答案：【知识点】二项式定理。J3

【答案解析】

解析：，令，得，故常数项为.【思路点拨】利用二项式定理的展开式得到，再令即可解得，可求结果。15.不等式的解集是

.

参考答案：略16.已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为

参考答案：17.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是．参考答案：2考点： 向量在几何中的应用．专题： 转化思想．分析： 令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答： 解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）?（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2故答案是2点评： 本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知各项均不相等的等差数列{an}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立．求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）设数列{an}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）运用裂项相消求和，求得Tn，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，由已知得即为，即，由d≠0，即有，故an=2+n﹣1=n+1；（2）==﹣∴=﹣=，∵存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立，∴存在n∈N*，使得﹣λ（n+2）≥0成立，即λ≤有解，即有λ≤[]max，而=≤=，n=2时取等号∴．【点评】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键．19.（本小题满分12分）已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角的对边,其中为锐角,,且,求和的面积Ｓ参考答案：（1）…………2分……………4分因为,所以…………6分（2）因为，所以，……………8分则，所以，即则…………10分从而………12分20.近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）参考答案：解：（?）由题意可知：。（?）由题意可知：。（?）由题意可知：，因此有当，，时，有．21.（本小题共13分）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中

称为数组的“元”，称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.

（Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）依据题意，当时，取得最大值为2．（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中．由，得．当且仅当，且时，达到最大值，于是．②当不是中的“元”时，计算的最大值，由于，所以．

，当且仅当时，等号成立．即当时，取得最大值，此时．综上所述，的最大值为1．

略22.（本题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且，（1）求的值；（2）若，求的面积。参考答案