2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

数学（文科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={-2,-1,0,1,2},8=«|0”无＜9，则AD3=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若z=l+i.贝”iz+3z-|=（）

A.4-J5B.4-J2C.2-J5D.2-J1

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1.则该多面体

的体积为（）

m

A.8B.12C.16D.20

5.将函数/（x）=sin（&+匹,㈤>0）的图像向左平移①个单位长度后得到曲线C,若

I3J2

C关于y轴对称，则M的最小值是（）

6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片

上的数字之积是4的倍数的概率为（）

v土」］的图像大致为（

7.函数/（无）=（3'-3-）cosx在区间)

L22」

8.当x=l时，函数/1（》）=。111》+2取得最大值-2,则/⑵=（）

X

A.-1B.—-C.—D.1

22

9.在长方体ABCD-A5GA中，已知3。与平面ABC。和平面A4乃乃所成的角均为

30。，则（）

A.AB=2ADB.AB与平面AgCQ所成的角为30。

C.AC=CBtD.坊。与平面B8CC所成的角为45。

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和

S乙,体积分别为％和吃.若［申=2,则-［中=（）

%匕.

A.-JsB.2-J1C.-JlQD・^2

4

11.已知椭圆c：之+4=i（a>〃>0）的离心率为1，A，4分别为c的左、右顶点，

ab3

B为C的上顶点.若丽;BA2=-\,则C的方程为（）

A.—4-2^.=1B.—+21=1C.—+21=1D.

18169832

—+V-=1

2

12.已知9〃'=10,。=10〃'_11,"=8m_9,则（）

A.a>O>bB.a>h>0C.b>a>0D.h>O>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=（加,3）,6=（1,〃?+1）.若a上b,贝ij.

14.设点M在直线2r+y_1=0上，点（3,0）和（0,1）均在初以上，则盟M的方程为

15.记双曲线。：与一彳=1（。>0,〃>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

«b

无公共点”的e的一个值______________.

AC

16.已知△ABC中，点。在边8c上，ZADB=120°,AO=2,CD=2BD.当」■取

AB

得最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行

情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

(a+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

P(K2...k)0.1000.0500.010

k|2.7063.8416.635

18.(12分)

记为数列｛4｝的前几项和.已知生一.

9t

(1)证明：｛4｝是等差数列；

⑵若久,%,偈成等比数列，求S,的最小值.

19.(12分)

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABC。是

边长为8(单位：cm)的正方形，盅,△FBC,GCD,均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面A3CO垂直.

(1)证明：E尸〃平面A8CO；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

20.(12分)

已知函数/'(x)=-x,g(x)=x:+a,曲线y=/(x)在点(七))处的切线也是曲线

y=g(x)的切线.

(1)若无］=-1,求a：

(2)求a的取值范围.

21.(12分)

设抛物线C:，=2px(p>0)的焦点为F,点£>(p,0),过尸的直线交C于M,N两

点.当直线MQ垂直于x轴时，|加耳=3.

(1)求C的方程：

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为

a，A.当"-f取得最大值时，求直线AB的方程.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

f2.±1

X=

在直角坐标系中，曲线G的参数方程为<6(，为参数)，曲线的参数方程

X=­

为＜6(s为参数).

［y=­Js

(i)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

2cose-sin®=0,求G与C交点的直角坐标，及G与C?交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,b,c均为正数，且〃+护+4(?2=3,证明：

(1)a+b+2c„3

(2)若。=2c,则1...3.

ac

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

数学(文科)

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

_3

13.4##—0.75

14.(X-1)2+U+1)2=5

15.2（满足l<e（石皆可）

16.小叫#-1+石

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

（一）必考题：共60分.

12J

17.（1）A,B两家公司长途客车准点的概率分别为13,8

（2）有

18.（1）证明见解析；

（2）~78.

19.（1）

如图所示:

分别取AB'的中点"，N,连接"N,因为AEA氏AF3C为全等的正三角形，所以

EMA.AB,FN±BCtEM=FN,又平面E48_L平面ABC。，平面EABc平面

ABCD=AB,EML平面EA5,所以EML平面ABC。，同理可得fNJ■平面

ABCD,根据线面垂直的性质定理可知£"/小，而EM=FN,所以四边形

EMNF为平行四边形，所以EF//MN,又平面ABC。，MNu平面A8co,

所以EF//平面ABC。.

⑵3

20.⑴3⑵卜1'+8)

21.(1))「=4x；

⑵AB:x=Jly+4

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中