2022年高考数学一轮复习古典概型与条件概率精讲（解析版）

8.2古典概型与条件概率(精讲)

思维导图

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

古

典

包含的基本事件的个数

概A

型基本事件的总数

定义_在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率

-----------------------------------------------------------

记作八P(B|A)

--------

读作…A发生的条件下B发生的概率

-----\y-----------------------------

条①缩4样本空间法：/向⑷=△殁

件以4

概

率

②公式法：R何⑷=丝兔

解题方法。何⑷___________

任何事件的条件概率都在0和1之间

性质尸厂

如果8和C是两个互斥事件，则RBU=2臼4)+

常见考法

-考法一古典概型

(古典概型与条件概率19

------考法二条件概率

考点一古典概型

[例1](1)(2021•全国高三月考)哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题

之一，自1742年提出至今，已经困扰数学界长达三个世纪之久哥德巴赫猜想是“任一大于2

的偶数都可写成两个质数的和“，如14=3+11.根据哥德巴赫猜想，拆分22的所有质数记

为集合A,从A中随机选取两个不同的数，其差大于8的概率为（）

12C34

A.-B.-C."D.一

5555

（2）.（2021•贵州高三月考）象棋，亦作“象暮”、中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在

中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流

行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分

如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或

左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路

线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（）

【答案】（1）B（2）C

【解析】（1）由题可知22=3+19=5+17=11+11,所以A={3,5,11,17,19},

所以从A中任取两个不同的数的基本事件共有C；=10种，

满足差大于8的基本事件为{3,17},{3,19},{5,17},{5,19},共4种，

所以P=上4=士2，

105

故选：B.

（2）由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，

相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有仁=10条路线.

其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；

第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有C；xC；=6条路线.故所求概率为得=,故选：C

【一隅三反】

1.（2021•广西高三开学考试（理））观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的

点数，点数之和正好等于5的概率为（）

【答案】C

【解析】观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数的取法有(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,5),(4,6),(5,6),共15种取法,其中和为5的取法有(1,4),(2,3),共2种取

2

法，由古典概型概率公式可得事件点数之和正好等于5的概率P=—,

故选：C.

2.(多选)(2021•湖南高三)根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代

诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君

王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分机处

(用为正整数)，按这种分法，下列结论正确的是()

A.为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是:3

B.为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是!

C.为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1

D.为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是?

【答案】ACD

【解析】由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列｛4｝，设其前”项和为s“，

贝Ij5q+寸Sx4利=50,得q=10-2m.因为q,加均为正整数，所以有如下几种情况：

fa=8[a=6fa=4fa=2

'「I।(共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表

所列：

男r伯侯公

4=8,m=1891()1112

q=6,m=268101214

4=4,m=347101316

q=2,m=426101418

3

由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是T；故选项A正确;

为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是：=】；故选项B不正确；

为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是4=1；故选项c正确；

4

为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，，故选项D正确；

4

故选：ACD.

3.（多选）（2021•湖南高三）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别

为“好”，，中“，，差”他决定按如下两种方案打车.方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于

第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车.若三辆车开过来

的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为Pi,P2,则下列

判断不正确的是（）

,11八11cli

A.P1=P?=3B.PI=P2=§c.Pt=-,p2=-D.p,=-,p2=~

【答案】ABD

【解析】记“车况好、中、差”分别为A,B,C,方案一包含的基本事件数为%,方案二

包含的基本事件数为乙,列表如下由表中所列事件数可知，△=：3=：1，P，=2J=1：，所以

6263

选项C正确.

1234n2

ABCV

ACBV

BACJ

BCAJ

CABJ

CBA

故选：ABD.

考点二条件概率

【例2】（1）（2021•全国高三月考（理））某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号

如图所示.公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位.记事件A

为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件8为“员工小李的车停在编号为偶数的

车位上”，则P（A|B）=（）

123456

（2）.（2021•四川省资阳中学高三月考）为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币

整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币50元、20

元、10元、1元纸币和1元、5角、1角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有4张假钞的10

张50元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6535

【答案】（1）D（2）B

33

【解析】（1）根据条件概率可得：P（A⑻故选：1）.

r\L））3

6

（2）设事件1表示“两张都是假钞”，事件6表示“两张中至少有一张是假钞”，则

2

3

2

1

所以口"忸）=鬻=15-

25-

3-

所以所求概率为:，

故选：B

【一隅三反】

1.（2021,全国高三专题练习（理））甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局

两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为金，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲

4

获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）

【答案】A

【解析】设甲获得冠军为事件4比赛进行了三局为事件6,

则心6）=C；x弓a）2、11二IR言，

4464

2

^）,m+c,xMxi=541

⑷2464

所以「⑻加P加（AB\1

故选：A.

2.（2021•福建高三）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮

四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度

雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（）

A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1

【答案】A

【解析1设发生中度雾霾为事件A,刮四级以上大风为事件B,

由题意知：尸（A）=0.25,P（B）=0.4,P（AB）=0.2,

,,、P（AB}0.2

则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P（网力=*^=赤=0.8.

故选：A.

3.（2022•全国高三专题练习（理））从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机

选取3人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是（）

A.-B.：C.一D.—

3245

【答案】B

【解析】记事件］为“甲被选中”，事件6为“乙被选中”，则由题意可得

P(A)=^=—=-,P(AB)C'3

C：105cf=io

所以尸烟所需得x|4

故选：B

4.（2022•全国高三专题练习（理））已知事件4与6独立，当P（A）X）时，若尸（邳A）=0.68,

则P(可=()

A.0.34B.0.68C.0.32D.1

【答案】C

【解析】因事件{与8独立，目尸（A）＞0,则P（B|A）=£罂=4第四=P（B）,即

尸(8)=0.68

由对立事件概率公式得P(B)=1-P(5)=0.32.

故选：c

5.（2021•广东汕头•高三）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄

色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）

A.—B.-C.-D.-

10343

【答案】C

【解析】记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件4“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B,

则黄色杯子和绿色杯子相邻，有空•用=48种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红

色杯子也相邻，有用收=12种；所以网44）=丛黑=冬冬=）,故选：c

,A,4

考点三综合运用

[例3]（2021•长春市基础教育研究中心）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，

为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中

抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅

读时间（单位：小时））各分为5组：[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50][0,10）,[10,20）,

得其频率分布直方图如图所示.

（1）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外

阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据（同一组

中的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率.

【答案】⑴需要；（2）0.7.

【解析】（1）由图可求出初中生在[30,4。）内的频率为0.2,故样本中初中生阅读时间的平均

数为

5x0.05+15x0.3+25x0.4+35x0.2+45x0.05=24<60x0.5=30,

故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间.

（2）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初

中生3人为q,4,%，高中生2人为如仇，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为

（4,42，。3），3|，42，4），（4，/，62），（4,43，仇），3|，43,62），（41,4，4），（。2，43，仇），

（外也）,（％，伉也），（见，4也），其中至少2名初中生包括7种情况，

所以所求事件的概率为'7=°）.

【一隅三反】

1.（2021•沐阳县修远中学高三月考）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运

会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生

的人数之比为1：1,抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活

动不满意.

（1）完成2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”;

满意不满意合计

男生

女生

合计120

（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7

名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的

概率.

n(ad-be")'

参考数据：K2=其中〃=a+/?+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(/?+d)

尸（片次）0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列联表答案见解析，有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；（2）

18

35'

【解析】（1）2X2列联表如表所示

满意不满意合计

男生402060

女生303060

合计7050120

利用公式可得Kj段黑黑黑泮号—7。6

故有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”.

（2）由（1）知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人

77

“男生满意”的人中占40x而=4人，“女生满意”的人中占30x布=3人，

记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件/,贝1|尸（田=等=郎

1Q

所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率

2.（2021•嘉峪关市第一中学高三（文））共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、

公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”

的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选

取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度

评分值（百分制）按照［50,60）,［60,70）,「［90,100］分成5组，请根据下面尚未完成并有局部

污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

组别分组频数频率

第1组[50,60)80.16