2022年高考数学试题解析13不等式选讲

1.【2022年全国甲卷】已知a,b,c均为正数，且。2+房+牝2=3,证明：

(l)o+b+2cW3；

(2)若b=2c,贝哈+:23.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(1)根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2,利用柯西不等式即可得证；

(2)由(1)结合已知可得0<。+4043,即可得到士2：,再根据权方和不等式即可

Q+4c3

得证.

⑴

22222

证明:由柯西不等式有[a2+b+(2C)](1+I+I)>(a+b+2c)2,

所以a+b+2cW3,

当且仅当Q=b=2c=l时，取等号，

所以a+b+2cW3；

⑵

证明：因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得Q+b+2c=Q+4cW3,

即0VQ+4c<3»所以---2

a+4c3

由权方和不等式知工+1=t+岁空=二一23,

aca4ca+4ca+4c

当且仅当;£即a=l,c=^t取等号，

所以工+工23.

ac

2.【2022年全国乙卷】已知a,b,c都是正数，且湛+谒+1=1，证明：

(l)afoc

7

⑵旦+_L+JLV-2—.

'b+ca+ca+h-27abc'

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

(1)利用三元均值不等式即可证明；

(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可.

⑴

333

证明：因为Q>0,fa>0,c>0,则成>0，质>0，度>0,

所以曾是zym，

即(abc)；，，所以abc，，当且仅当/=4=强，即a=b=c=，时取等号.

⑵

证明：因为Q>0,b>0,c>0,

所以b+cN2V^E,a+c>2y[ac,a-Vb>2y/aby

333

所以a/a成bb—应c.cc2

b+c—2vbc27abea+c_2Vac2yabca+b_2vab2vabc

333333

abca2房c2Q2+房+c21

-----1------1——,+—,T---,=,—=—,

b+ca+ca+b--27abe27abe27abe27abe27abe

当且仅当Q=b=c时取等号.

2022年高考模拟试题

1.(2022・吉林长春•模拟预测(文))设函数/(x)=|2x_l|+|2x+l|.

⑴求不等式/(力<3的解集;

⑵设a,b是两个正实数，若函数/(x)的最小值为m,且。+26=加.证明：五+历£2.

33

【答案】⑴

4?4

(2)证明见解析

(1)先去掉绝对值，变为分段函数，再求解不等式的解集:

(2)利用第一问的分段函数得到函数图象，求出函数TV)的最小值，也就是加的值，再用

柯西不等式进行证明.

(1)

)1

-4x,x•——

2

解：由已知得：/(x)=|2x-l|+|2x+l|=.2,--<x<一,

22

4x,x开;

-4x<32<34x<3

又/(x)<3,所以，/1或，11或,

x<———<x<一x/

2222

5—31„11„13

422224

33)

综上，不等式/。）＜3的解集为

454r

(2)

即a+26=2,又a>0、b>0,

由柯西不等式：（Gx+f)=4,

所以G+疡42，当且仅当a=2b=l时取等号.

2.（2022•云南昆明•模拟预测（理））设a,b,c均为正数，且a+b+c=l.

14

⑴求一+Y---的最小值;

ab+c

(2)证明：Jl-a+Jl-b+J-cW志.

【答案】（1）9

（2）证明见解析

(1)依题意可得b+c=l-a>0,则上1+好4一=工1+4/一，再利用乘"1"法及基本不等式计算可

a/?+ca\-a

得；

(2)利用柯西不等式证明即可；

⑴

解：b,。都是正数,EL〃+b+c=l,/?+c=1—tz>0,

当且仅当j1—a=产4〃即〃=I:时等号，

a\-a3

14,

即一+7—的最小值为9；

ab+c

⑵

证明：由柯西不等式得[(1-)+(i-6)+Q-cJ]Q+i+iR

即62(J1-a+4-b+J-c),

故不等式^/n+gy+F7w&'成立，

当且仅当a=b=c="时等号成立；

3.(2022•安徽淮南•二模(文))已知函数f(x)=，-2|x-2|.

⑴求不等式〃x)27的解集；

⑵设函数“X)在2”)上的最小值为m,正数a,b满足。+6=切，求证：^£>872-8.

a

【答案】⑴(-8,T_26]U[3,+OO)

(2)证明见解析

(1)讨论x22和x<2分别求解；

(2)当xw[2,+8)时,易知函数/㈤的最小值为m=4,可得b=4-a,代入整理得

9亘=2“+3-8,再利用基本不等式.

aa

⑴

原不等式可化为

x>2x<2

①卜-2(x-2"7；②卜+2@-2)27，

解①得x*3；

解②得*4-1-26，

所以原不等式的解集为(-8,-1-2百2[3,内).

(2)

当xe[2,+00)时,f{x}=X2-2(X-2)=(X-1)2+3在[2,-K»)上单调递增

所以函数/(x)的最小值为=4，于是。+方=4即6=4-。

a2+b2_a2+(4-a)

=2a+--^>2.-8=872-8,

当且仅,'la=20/=4-2、历时等号成立

g[j£i±£>872-8

4.(2022・贵州贵阳•二模(理))已知“,6,c,</eR

⑴证明：(/—/)卜2_/).3._〃)2；

(2)已知x,yeR,X2-4/=1,求|JJx+2川的最小值，以及取得最小值时的x,V的值.

【答案】⑴证明见解析

V6V6

X=------X=—

⑵最小值为&，[或2

V2V2

一——

y=-4ry=4

(1)利用作差法证明不等式；

(2)令a=x,6=2y,c==-1代入(1)中不等式可得最小值及取得最小值是值.

(1)

2222

因为-b^c-d)-(ac-bd)

=(a2c2-62c2一a2j2+62d2)一2c2_2abe"+62d?)

=-b2c2+2abcd-a2d2

=-(bc—ad)1*0,

所以(/-好付一〃2)•(ac，_〃)2,当旦仅当儿=4时取等号.

(2)

由⑴可得[f_(2y)2}[(拘2一(_叫.[&_(_2疥，

所以(J3x+2.y)2理，即|J§x+2y|不历,

当且仅当2y•6=(-l>x时取等号.

a瓜

X=----X=—

2或，2

由，

6VT

*尸彳、二一彳

x=----x=­

2

综上，|瓜+2川的最小值为血,此时x,了的值为，2或，

V2

片彳y=-

5.(2022・四川・宜宾市教科所三模(理))已知函数/(x)=2|x-2|.

⑴解关于x的不等式/'(x)-x-140；

(2)设g(x)=/(x)+|2x+l|-3,g(x)的最小值为人,若a+b+c=m,abc=2m,>0,求〃

的最小值.

【答案】⑴口,5]

(2)4

(1)分段讨论去掉绝对值符号，解不等式组可得答案；

4

(2)根据绝对值二角不等式性质求得m，可得b+c=2-a,bc=~,利用

a

(h+c^=b2+c2+2bc>4bc,可得至IJ/-4/+4a-1620,解得答案.

⑴

由已知得2卜_2卜>140,可化为

x>2\x<2

'2(x-2)-x-l<0^[-2(x-2)-x-l<0,即24x45或14x<2,

.•"(x)-x-140解集为[1,5]；

(2)

g(x)=|2x-4|+|2x+l|-3>|(2x-4)-(2x+l)|-3=2,

当2时，取，g(x)的最小值为加=2

4

Va+b+c=m,abc-2m,J.b+c=2-a,be=­t

•.•(b+c)2=b2+c2+2bc>4bc,A(2-a)229,

<2>0./.a3—4a2+4a—16>0>[a+4j(tz—4)>0,

a>4,

当】=c=-l时取J”,；.。的最小值为4.

6.(2022•新疆•三模(文))已知/卜)=段-3|+卜+1|.

⑴设〃x)的最小值为m,求m的值：

(2)若。，b>0S^a+b-m,求证："+乃J+2"22.

a+2b+2

【答案】⑴机=2；

⑵证明见解析.

⑴化简函数解析式，结合函数的单调性求其最小值即可；(2)化简不等式的左边的代数式,

利用基本不等式完成证明.

⑴

当xNl时，/.(x)=|3x-3|+|x+l|=3x-3+x+l=4x-2,止匕时/(x)N2,

当-14x<l时，/(x)=|3x-3|+卜+"=3-3x+x+1=4-2x,此时

当x<-l时，/(x)=|3x-3|+|x+l|=3-3x-x-l=2-4x,止匕时

所以函数f(x)的最小值为2,故机=2.

(2)

由⑴a+b-2,

3i2222

a、2b---b--+-]2--a---a--+=2a-2a+2bB+2b-2b+2a

a+2b+2--------a+26+2

2b-2a22a-2b2

+-----------+b2+

a+2b+2

2

=/+h2J-2।2(2-b)-2b

a+26+2

西2(Q+2)(a-1)2(b+2)@—1)

Q+26+2

=a2+b2-2a+2-2h+2

=a2^b2

23=2

(当且仅当〃=b=l时等号成立),

2

a3+2bb3+2a

所以-------------1-------------22

。+2b+2

a

7.(2022•甘肃•武威第六中学模拟预测(理))设函数/(x)=x-4x(tz>0)

2

⑴当。=1时，求不等式〃X)41的解集;

28

⑵己知不等式/(x)»x+5的解集为{xlxQ},m>0,〃>0,m+n=a,求一+一的最小

mn

值.

【答案】(1)

(2)?

⑴根据题意'分三种情况讨论求解即可；

(2)由题知x-]-4xN0的解集为｛xlxWl｝,进而得a=10,再根据基本不等式求解即可.

⑴

解：当a=l时，/(x)=x-；+|x+l|-4x,

所以，当X4-1时，/(x)=-^-6x<1,解得该不等式无解；

当7<x<；时，/(x)=-4x+|<|,解得；

当xzg时，/(x)=-2x+|<|,解得

综上，不等式/(x)«g的解集为-；，+8)

⑵

解：因为不等式/(x)2x+｝的解集为｛x|x41｝,

所以，x-|-4xN0的解集为｛xlxWl｝,即x-；4x的解集为｛x|E｝

如图，要使*4x的解集为｛x|x41｝,则1—■|-4=0,解得。=10或”一6

因为〃>0,。=10,即〃z+〃=10.

因为阳>0,〃>0,

g”28128m1042府9

〃?+77)=—10+阴+>

所以_+_=「i47

mn10WK10mn105-

当且仅当二=丝，即〃=2机时等号成立,

mn

所以*2+8±的最小值为9三

mn5

⑴求M;

（2）若。、bwM,且。+%=2,求，+■的最小值.

【答案】⑴"二］》、、;}

⑵2

（1）分xVO、0<x<4,x24三种情况解不等式N+32|x-4］,综合可得出集合M；

（2）计算可得2+-2（/+/一町利用基本不等式可求得§+冬的最小值.

2222

/bab编b

⑴

解：当X4O时，则有r+324-x,无解；

当0<x<4时，则有x+3W4-x,解得X2,，此时，4X<4；

22

当xN4时，则有X+32X-4,该不等式恒成立，此时x24.

综上所述，〃=卜"2；］，

⑵

解：由已知可得az],Z>>^(

22

baa3+b3(a+b^a2+b2-ab^2代+b2-ab12(2ab-ab)2

a2+b2a2b2a2b2a2b2a2b2ab

当且仅当a=b=1时，I二述不等式中的等号同时成立，

故与+会的最小值为2.

9.(2022•河南•模拟预测(文))已知函数/'(x)=|2x-a|-卜+1|(4>0).

⑴当。=4时，求不等式/。)44的解集；

(2)若/(x)>-自恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴~1,9

(2)(1,”)

(1)当。=4时，求得函数/(x)的解析式，分段讨论，即可求解；(2)当。>0时，化简函

数/(x)的解析式，利用单调性，可得/(x)m,n=q-l，结合题意列出不等式，即可求解.

⑴

x-5,x>2

当a=4时，函数/(同=|2%一4|一忆+1]=<3-3x,-l<x<2,

5—K—1

当x22时，由f(x)44,可得x-544,解得24x49；

当-l<x<2时，由/(x)44,可得3-3x44,解得-：4x<2；

当X4-1时，由/(x)V4,可得5-X44,此时解集为空集.

综上所述：不等式/(x)44的解集为：一:9.

(2)

,、a

x-a-\,x>—

2

因为a>0,所以函数根据一次函数单调性可知，

4+1—X,—1

函数/(X)在(f,5上单调递减，在C，+8)上单调递增，所以=

由〃》)>言恒成立，得〃

解得。>1,所以实数。的取值范围为：。，”).

10.(2022•黑龙江•哈尔滨三中三模(理))函数/(x)=|2x-2|+|2x+l|.

⑴求不等式/(x)N3x+l的解集；

⑵若/(x)的最小值为k,且实数a,b,c满足a+2Z>+4c=%.求证：a2+2ab+2h2+c2

【答案]⑴,8,1]U[2,⑹

(2)证明见解析

(1)利用零点分段讨论法即可求解；

(2)由绝对值三角不等式可得/(%)的最小值4=3,进而有“+2b+4c=3,乂

(a2+2a/>+262+c2)(l2+l2+42)=[^+1)+/>2+c2](2+I2+42),从而利用柯西不等式即

可证明.

⑴

解：当Ml时，/(x)=4x-L所以原不等式即为4x-123x+l,解得x22；

11q

当时，/(x)=3,原不等式即为3W3X+1,解得

222

当时，/(x)=l-4x,原不等式即为1—4xN3x+l,解得

综上，原不等式的解集为‘0gU[2,M).

(2)

解：因为/(X)=|2X-2|+|2X+1|2|(2X-2)-(2X+1)|=3,当且仅当时取等号、

所以。+2b+4c=3,

由柯西不等式可知

(a2+2ab+2b2+c2)(12+I2+42)=[6+b丫+b2+c2+I2+42)

>[(a+6)xl+6xl+cx4J'=(a+26+4c)-=9,

iia

所以/+2/+2^+c22—(当a=0,b=~,c=一时等号).

263

11.(2022•江西赣州•二模(理))不等式。+方+。*卜+1卜卜+2|对于xeR恒成立.

⑴求证：a2+h2+c2>^-

⑵求证：拜展近

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

(1)利用绝对值三角不等式可得出a+b+c±l,再利用基本不等式可证得结论成立;

22

(2)利用基本不等式可得出，力+从釜gb),ylb+c>^(/>+c),

后高24(c+a)，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.

⑴

证明：因为a+6+c讣+卜卜+2|对于xeR恒成立,

又因为|X+1|TX+2|W|(X+1)-(X+2)|=1,所以a+b+cNl,

由基本不等式可得a?+〃N2Q6，b2+c2>2bc»c2+a2>2ac»

所以，(a+b+c)2=/+/+。2^-2ab+2bc+2ca<3(tz2+b2+c2),

所以3,2+/+o2)2(4+6+0)221,所以a2+〃+c2>1

(2)

证明：因为/+/22"，所以2(/+/)2(0+",所以而再之当(a+b),

同理可得：“*2邛(b+c),&匕"邛(c+a),

所以，/+〃+J/+/2+&2+a?2近(a+b+c),

所以J〃2+/+后+C2+后+a~>&•

12.(2022•甘肃兰州•一模(理))已知函数/(x)=|2xT|+2|x+f|.

(1)当，=1时，解关于x的不等式/(x)N6：

(2)当，>0时，/(x)的最小值为6,且正数满足a+b=,.求•1+。+2•的最小值.

abab

【答案】⑴(-8,-(IJ(，+8)

(2)3

(1)分别在xW-l、和xN：的情况下，去掉绝对值符号，解不等式可得结果；

22

(2)利用绝对值三角不等式可求得，，化简所求式子，利用基本不等式可得结果.

⑴

当f=l时,/(x)=|2x-l|+2|x+l|；

当X4—1时，/(x)=l-2x-2(x+l)=-4x-l>6,解得：

当时，/(x)=1-2x+2(x+l)=3>6,解集为0；

当xN：时，/(x)=2x-l+2(x+l)=4x+1>6,解得：x>|；

综上所述：不等式/(x)*6的解集为(-«>,-(U*+8).

⑵

当f>0时，f(x)=\2x-t\+\2x+2t\>\(2x-t)-(2x+2t^=3t=6(当且仅当-f4x4；时取等

号)，/./=2,即。+6=2；

111\+a+b3、3,

一+—F—=------——2-------亍=3

ahahahab1上电]~(当且仅当〃=b=l时取等号)，

即,+1的最小值为3.

aban

13.(2022・全国•模拟预测(理))己知函数/(》)=|下-1|+|》+0-|。-1|的最小值为2.

⑴求。的取值范围；

(2)若/(。-4)>〃2。-3),求a的取值范围.

【答案】⑴口,内)

(2)[1,2)

(1)根据绝对值的三角不等式求解即可；

(2)根据公式法解绝对值不等式即可.

(1)

因为|x-l|+|x+蚱|(x-l)-(x+a)Ha+l|，所以/(x).=|a+l|。一11=2,

又因为Ia+1H。T国(。+1)-ST)1=2,当且仅当a>1时等号成立,

所以。的取值范围是口，田).

(2)

f{a-^=\a-5\+2\a-2\-\a-\\,/(2a-3)=2|a-2|+3|a-l|-|a-l|,

由a21及/-4)>/(2a-3)得|a-5|+2|a-2|>2|a-2|+3(a-l),

g[J|a-5|>3(a-l),即a-5>3(a-l)或°-5<3(1—a),

解得a<2,又因为a±l,所以a的取值范围是口,2).

14.(2022•安徽・南陵中学模拟预测(理))已知函数/(x)=3|x+2|-|x-4|

⑴求不等式f(x)>0的解集；

(2)若VxeR.不等式〃x)2Mx-4)恒成立，求实数k的取值范围

【答案】⑴(―8