2022-2023学年福建省福州市霞拔中学高三数学文模拟试卷含解析

2022-2023学年福建省福州市霞拔中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四组函数中，表示同一函数的是(

)A．f(x)＝|x|，g(x)＝B．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxC．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝参考答案：A略2.对函数f（x）=，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6） B．（，6） C．（，5） D．（，5）参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+＜2（m﹣1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．【解答】解：函数f（x）=，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．当m＞2时，f（x）∈[1+，m﹣1]，只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，综上，实数m的取值范围（，5），故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．3.如果函数在区间上是单调减函数，那么实数的取值范围是（

）。A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】以正方体为载体作出三棱锥的直观图，代入体积公式计算即可．【解答】解：几何体为三棱锥P﹣OBD，其中P，B，D为正方体的顶点，O为正方形ABCD的中心，正方体的棱长为4，∴VP﹣OBD===．故选：B．5.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B． C． D．2参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为，即可求出它的体积．【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为；所以，该棱锥的体积为V=S底面积?h=×2=．故选：B．6.过P(2，0)的直线被圆截得的线段长为2时，直线的斜率为

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若则；②若则；③若，，则；④若则．其中真命题个数是（

）．A．1

B．2

C．3

D．4【知识点】平面与平面平行的性质

G3参考答案：B解析：若，则可以垂直也可以平行.故①错；若，则可以相交也可以平行，只有直线相交才有故②错；若，，则；故③正确；若则，故③正确.所以正确命题有两个，故选择B．【思路点拨】垂直于同一个平面的两个平面可以相交也可以平行，所以①错；只有直线相交才有故②错；两平面平行，则一个平面内的所有直线都平行令外一个平面，所以③正确；三个平面两两相交，且交线平行，可知③正确.8.满足M｛a1,a2,a3｝,且M∩｛a1,a2,a3｝={a3}的集合M的子集个数是

（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略9.变量x，y满足约束条件时，x﹣2y+m≤0恒成立，则实数m的取值范围为（） A．[0，+∞） B． [1，+∞） C． （﹣∞，3] D． （﹣∞，0]参考答案：考点： 简单线性规划．专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析： 由题意作出其平面区域，x﹣2y+m≤0表示了直线上方的部分，故由解得，x=4，y=2；代入即可．解答： 解：由题意作出其平面区域，x﹣2y+m≤0表示了直线上方的部分，故由解得，x=4，y=2；则4﹣2×2+m≤0，则m≤0．故选D．点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10.已知函数和函数在区间上的图象交于，，三点，则的面积是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为

km．参考答案：30【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题．【分析】先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的长度，求得BM．【解答】解：如图，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得=，解得BM=30（km），故答案为30．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案．12.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于

.参考答案：【知识点】频率分布直方图．L4

【答案解析】60

解析：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【思路点拨】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．13.已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，角A、B、C所对应的边为a、b、c，且A为钝角，a=2，b=2，则△ABC的面积为__

．参考答案：214.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36),[36,48),…,[84,96)分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数的取整等于不超过的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为

．参考答案：0.82

15.已知，则________．参考答案：【知识点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．C6C2

【答案解析】

解析：∵sinα﹣cosα=，①0≤x≤π∴1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=，∴α∈（0，）∴1+2sinαcosα=，∴sinα+cosα=，②由①②得sinα=，cosα=，∴sin（+2α）=cos2α=2cos2α﹣1==﹣，故答案为：﹣．【思路点拨】把所给的条件两边平方，写出正弦和余弦的积，判断出角在第一象限，求出两角和的结果，解方程组求出正弦和余弦值，进而用二倍角公式得到结果．16.某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个

元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

．参考答案：略17.极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线和相交于点，则＝

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆与y轴正半轴交于点，离心率为．直线l经过点和点．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若，当时，求的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据椭圆的性质可得其标准方程；（2）由P，Q两点可得直线l的方程，与椭圆方程联立消去x得到关于y的方程，且，由可得，通过已知将其化为只含有和t的等式，再根据t的范围可得的范围。【详解】解析：（1）．由题意，且，所以，所以椭圆E的标准方程为．（2）．因为直线l经过点和点，所以直线l的斜率为，设，将其代入椭圆方程中，消去得，当时，设、，则……①，……②因，所以，所以……③联立①②③，消去、，整理得．当时，，解由且，故，所以．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的知识。19.已知f（x）=（cos2x﹣sin2x）﹣2cos2（x+）+1的定义域为[0，]．（1）求f（x）的最小值．（2）△ABC中，A=45°，b=3，边a的长为6，求角B大小及△ABC的面积．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）先化简的解析式，根据x的范围确定2x+的范围，从而根据正弦函数的性质确定函数的最小值．（2）先由正弦定理求得sinB，进而求得B，进而求得C，利用三角形面积公式求得答案．【解答】解．（1）f（x）=cos2x﹣[1+cos（2x+）]+1=cos2x+sin2x=2sin（2x+）由0≤x≤，得≤2x+≤，得﹣≤sin（2x+）≤1，所以函数f（x）的最小值为2×（﹣）=﹣，此时x=．（2）△ABC中，A=45°，b=3，a=6，故sinB===（正弦定理），再由b＜a知B＜A=45°，故B=30°，于是C=180°﹣A﹣B=105°，从而△ABC的面积S=absinC=．【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．综合性强，难度适中．20.已知数列，满足，，设数列的前n项和为．求证：（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．参考答案：（I）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（1）利用数学归纳法易得：，由，可得证明;（Ⅱ）将原不等式化简，证即可，令，对求导，可得，可证明；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：即,可得，，，可得证明.【详解】解：（I）由数学归纳法易得，且，可得（Ⅱ）要证只需证即证，即证，令，在上递减，．即：（Ⅲ）由得，由得,,,,，,（当时）.【点睛】本题主要考查数列的相关性质及导数在研究函数单调性中的运用，综合性大，难度较大.21.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（I）求圆的直角坐标方程；（II）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.参考答案：解（Ⅰ）

（Ⅱ）

，略22.（本小题满分14分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记的面积为，求的最大值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（I）设圆心的坐标为，半径